In Mathematik ist das quadratische Symbol (2) ein arithmetischer Operator, der das Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst bedeutet. Das „Quadrat“ einer Zahl ist das Produkt der Zahl und sich selbst. Das Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst wird als „Quadrieren“ der Zahl bezeichnet. Das Quadrieren einer Zahl ist eine spezifischere Instanz der allgemeinen Exponentiationsoperation, Exponentiation, wenn der Exponent 2 ist. Das Quadrieren einer Zahl ist dasselbe wie das Erhöhen dieser Zahl auf die Potenz von zwei. Die Quadratfunktion (ƒ (x)=x2) ist die Umkehrung der Quadratwurzelfunktion (ƒ(x)=√x).,
Das Erhöhen einer Zahl n auf die Potenz von 2 wird als „Quadrieren“ bezeichnet, da die resultierende Zahl n2 der Fläche eines Quadrats mit Seiten der Länge n entspricht. In der Algebra bildet die quadratische Funktion das Rückgrat einiger einfacher Arten von Polynomen (Quadratik). In der Trigonometrie wird die Quadratfunktion verwendet, um die entsprechenden Winkel und Seitenlängen kongruenter Dreiecke zu finden, ein nützliches Konzept zur Modellierung periodischer Phänomene., In der Physik kann die quadratische Funktion verwendet werden, um Abstände zwischen zwei Punkten (in Form des Satzes von Pythagoras) zu berechnen, und modellierte Phänomene haben oft die mathematische Form einer quadratischen Funktion, insbesondere Gleichungen mit Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Quadrieren: Die Grundlagen
Quadrieren einer Zahl ist einfach: Multiplizieren Sie einfach die Zahl selbst: Das Symbol 32 bedeutet nur 3×3., Im Allgemeinen hat die quadratische Funktion für jede Zahl n:
n2 = n × n
Ferner die interessante Eigenschaft, dass das Einfügen der additiven Umkehrung von n die gleiche Zahl ergibt:
n2 = (−n)2
Streng genommen ist jede positive Zahl das Quadrat genau zweier Zahlen, einer positiven und einer negativen Zahl.nummer. 4 ist das Quadrat von 2 und -2. Eine Zahl, die das Quadrat einer Ganzzahl ist, wird als perfektes Quadrat bezeichnet., Im Allgemeinen gilt: Je weiter unten die Zahlenzeile geht, desto weiter und weiter verteilt sich die Verteilung der vervollkommneten Quadrate. Dieser Trend liegt daran, dass die quadratische Funktion exponentiell wächst; dh ihre Wachstumsrate ist proportional zu ihrem aktuellen Wert.
Die Umkehrung der Quadratfunktion ist die Quadratwurzelfunktion ƒ (x) = √x. Die Quadratwurzel einer Zahl n ist ein beliebiges a, so dass a2 = n. Da sowohl eine Zahl als auch ihr additives inverses Quadrat das gleiche Ergebnis erzielen, hat jede positive reelle Zahl genau 2 Wurzeln +√x und – √x, manchmal ausgedrückt als ±√x., In den meisten Fällen bezieht sich „die Quadratwurzel“ einer Zahl nur auf ihre positive Wurzel. Die besondere Definition der Quadratwurzelfunktion macht es so, dass keine negative reelle Zahl eine Quadratwurzel hat, da keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, eine negative Zahl erzeugt. Negative Zahlen haben Quadratwurzeln im komplexen Zahlensystem, aber nicht im reellen Zahlensystem.
Ein Graph der Funktion x2 sieht aus wie:
Beachten Sie, wie das Diagramm entlang der vertikalen y-Achse perfekt gespiegelt ist., Die Form des Graphen entspricht der Tatsache, dass jede positive reelle Zahl das Quadrat einer positiven und einer negativen Zahl ist (außer Null). Daher ist es möglich, dass eine Funktion in der allgemeinen Form der quadratischen Funktion keine Wurzeln hat—es gibt kein n, so dass ƒ(n) = 0. Visuell bedeutet dies, dass einige quadratische Funktionen niemals die x-Achse kreuzen.
Verwendung der Quadratfunktion
Algebra
Die Quadratfunktion bildet das Rückgrat einer speziellen Klasse von Polynomgleichungen, die als quadratische Gleichungen bezeichnet werden., Ein quadratisches Polynom des Grades 2: das heißt, jedes Polynom in der Form:
ax2 + bx + c
Wobei a, b und c alle reellen Zahlen und a≠0 sind. die Begriffe a, b und c werden als quadratischer, linearer bzw. konstanter Koeffizient bezeichnet. Quadratische Gleichungen können berücksichtigt werden, um ihre Wurzeln zu finden—Werte von x, für die die gesamte Gleichung gleich 0 ist., Alternativ kann man die quadratische Gleichung verwenden, um für die Wurzeln eines quadratischen Polynoms zu lösen:
Die quadratische Gleichung ist nützlich, um Bewegungen zu modellieren, da die Kurve der beschleunigten Bewegung die Form einer quadratischen Kurve annimmt. Wenn eine Bewegung eine konstante Beschleunigungsrate hat, ist ein Graph ihrer Bewegung eine quadratische Gleichung. Die geometrische Form der quadratischen Funktion wird Parabel genannt.
Geometrie
Die quadratische Funktion hat viele Anwendungen in der Geometrie. Am offensichtlichsten kann die quadratische Funktion verwendet werden, um die Fläche von Quadraten zu finden., Es ist allgemein bekannt, dass die Fläche eines Quadrats mit Seiten der Länge n gleich n2 ist. Dies ergibt sich aus der Gleichung für die Fläche eines Rechtecks (und allgemeiner für Parallelogramme), wobei A = l×w. Ein Quadrat ist einfach ein Rechteck, bei dem Länge und Breite gleich sind. Die Tatsache, dass die Fläche eines Quadrats eine quadratische Funktion ist, erklärt eine Eigenschaft über das Wachstum der quadratischen Fläche: Das Flächenquadrat, dessen Länge n-mal länger ist, hat n2 mehr Fläche.
Quadrieren wird auch verwendet, um Abstände zwischen zwei Punkten im Kontext des Satzes von Pythagoras zu finden. Der Satz von Pythagoras besagt, dass das Quadrat der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks (ein Dreieck mit einem Winkel von 90°) gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist (a2+b2=c2). Diese Formel kann verwendet werden, um den Abstand zwischen dem Ursprungspunkt einer Koordinatenachse (0, 0) und einem beliebigen Punkt (x, y) zu berechnen. Man kann eine Linie zeichnen, die sich horizontal vom Ursprungspunkt x Einheiten erstreckt, dann eine Linie, die sich von diesem Punkt y Einheiten vertikal erstreckt., Die gezeichnete Form ist ein rechtwinkliges Dreieck, und der Abstand zwischen dem Ursprung (0, 0) und dem Punkt (x, y) kann als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen x und y berechnet werden.
Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des allgemeineren Parallelogrammgesetzes, das die Länge der Seiten eines Parallelogramms mit seinen Diagonalen in Beziehung setzt: Das Parallelogrammgesetz besagt, dass die Summe des Quadrats der Längen der Längen der vier Seiten gleich der Summe des Quadrats der Diagonalen ist. Angenommen, wir haben ein Parallelogramm mit den Seiten AB, BC, CD und DA sowie den Diagonalen AC und BD., Das Parallelogrammgesetz sagt uns, dass:
AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2
Da in einem Parallelogramm entgegengesetzte Seiten definitionsgemäß gleich lang sind, kann diese Gleichung einfach umgeschrieben werden als:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
Der Satz von Pythagoras fällt im Falle eines Rechtecks aus dieser Gleichung, wobei die Diagonalen gleich lang sind.
Trigonometrie
Die Quadrierung tritt auch in Gesetzen auf, die die Längen der Seiten eines Dreiecks in Form des Kosinusgesetzes auf seine Winkel beziehen., Einfach ausgedrückt besagt das Kosinusgesetz, dass für ein Dreieck mit den Längen a, b und c und den gegenüberliegenden Winkeln A, B und C:
c2= a2 + b2 – 2ab×cos(C)
Das Kosinusgesetz kann neu geschrieben werden, um für jede Variable eine Gleichung mit genau derselben Form zu lösen, sodass dieselbe Gleichung für jede Seite funktioniert. Mit dem Kosinusgesetz können Sie die anderen Komponenten eines Dreiecks bestimmen, wenn Sie die Länge von mindestens zwei Seiten und einem Winkel kennen. Die Gleichung vereinfacht auch die Angabe des Satzes von Pythagoras bei rechtwinkligen Dreiecken. Bei rechtwinkligen Dreiecken ∠C = 90, also cos (C) = 0., Der rechte Teil der Gleichung bricht ab, und wir bleiben mit c2= a2 + b2
In der Physik
In der Physik erhebt die quadratische Funktion oft ihren Kopf im Kontext von Gleichungen Beschreiben Sie die Intensität einer physikalischen Größe als Funktion der Entfernung. Aufgrund der 3D-Geometrie des Raums ist die Intensität jeder physikalischen Größe, die in einer Kugel um die Quelle nach außen strahlt, umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung von der Quelle., Diese Tatsache ergibt sich aus dem geometrischen Gesetz, dass die Oberfläche einer Kugel (4nr2) direkt proportional zum quadratischen Radius (r2) der Kugel ist.
Zum Beispiel ist die Schwerkraft eine inverse quadratische Kraft, da die Stärke der Anziehungskraft zwischen zwei Körpern direkt proportional zur Masse dieser Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen diesen Körpern ist., Dies zeigt sich in der mathematischen Form des Newtonschen Gravitationsgesetzes
Fg= G (m1×m2)/d2
wobei m1 und m2 die Massen der Körper sind und d der Abstand zwischen ihren Schwerpunkten ist. Übrigens hat die Kraft der elektrostatischen Anziehung zwischen zwei Körpern auch die Form eines inversen quadratischen Gesetzes sowie die gemessene Intensität des Lichts, wie sie von einer Punktquelle gemessen wird.
Die quadratische Notation wird auch zur Definition von Maßeinheiten in der Physik verwendet. Zum Beispiel wird die Beschleunigung, die Geschwindigkeit der Geschwindigkeitsänderung, in der Einheit m/s2 gemessen., Dies kann gelesen werden “ Meter pro Sekunde pro Sekunde.“Wenn Geschwindigkeit die Änderung der Entfernung in Bezug auf die Zeit ist, dann ist Beschleunigung die Änderung der Geschwindigkeit in Bezug auf die Zeit. Beschleunigung ist ein Maß dafür, wie viel Geschwindigkeit sich an jedem Bewegungspunkt ändert. Wenn meine Beschleunigung 6 m/s2 beträgt, bedeutet dies, dass meine Geschwindigkeit (m/s) für jede Bewegungssekunde um 6 ansteigt, daher Meter pro Sekunde pro Sekunde.