operații aritmetice de bază sunt de adunare, scădere, înmulțire și împărțire, deși acest subiect, de asemenea, include mai multe operații avansate, cum ar fi manipulările de procente, rădăcini pătrate, exponentiala, logaritmica funcții, și chiar funcții trigonometrice, în același sens ca și logaritmi (prosthaphaeresis). Expresiile aritmetice trebuie evaluate în funcție de secvența dorită de operații., Există mai multe metode pentru a specifica acest lucru, fie—cele mai frecvente, împreună cu notația infix—folosind în mod explicit paranteze și bazându-se pe reguli de prioritate, sau folosind un prefix sau notație postfix, care fixează în mod unic ordinea de execuție de la sine. Orice set de obiecte pe care toate cele patru operații aritmetice (cu excepția divizării cu zero) pot fi efectuate și unde aceste patru operații respectă legile obișnuite (inclusiv distributivitatea), se numește câmp.,adăugarea finită a mai multor numere poate fi văzută ca adăugare simplă repetată; această procedură este cunoscută sub numele de însumare, un termen folosit și pentru a desemna definiția pentru „adăugarea infinit de multe numere” într-o serie infinită. Adăugarea repetată a numărului 1 este cea mai de bază formă de numărare; rezultatul adăugării 1 este de obicei numit succesorul numărului inițial.Adăugarea este comutativă și asociativă, astfel încât ordinea în care se adaugă mulți termeni finiți nu contează.,
numărul 0 are proprietatea că, atunci când este adăugat la orice număr, produce același număr; deci, este elementul de identitate al adăugării sau identitatea aditivului.adăugarea poate fi, de asemenea, interpretată geometric, ca în exemplul următor.Dacă avem două bastoane de lungimi 2 și 5, atunci, dacă bastoanele sunt aliniate una după alta, lungimea bastonului combinat devine 7, deoarece 2 + 5 = 7.,
scădere
scădere, notată cu simbolul − {\displaystyle -} , este operația inversă pentru adăugare. Scădere găsește diferența dintre două numere, minuend minus scăzător: D = M − S. a Recurge la cele stabilite anterior plus, acest lucru este de a spune că diferența este numărul care, atunci când este adăugată la scăzător, rezultate în minuend: D + S = M.,
pentru argumentele pozitive m și s deține:
dacă menuend este mai mare decât subtrahend, diferența D este pozitivă. Dacă menuend este mai mic decât subtrahend, diferența D este negativă.
în orice caz, dacă minuend și subtrahend sunt egale, diferența D = 0.
scăderea nu este nici comutativă, nici asociativă., Pentru acest motiv, construcția acestei inverse operație în algebra modernă este de multe ori ignorate în favoarea introducerii conceptului de inversă elemente (ca schițat sub § Plus), în cazul în care scăderea este privit ca adăugarea aditivului inversul scăzător la minuend, care este, a − b = a + (−b)., Imediat prețul de a renunța la operație binară de scădere este introducerea (banal) unar funcționare, livrarea aditiv inversă pentru orice număr dat, și de a pierde accesul imediat la noțiunea de diferență, care este potențial înșelătoare atunci când negativ argumente sunt implicate.pentru orice reprezentare a numerelor, există metode de calcul al rezultatelor, dintre care unele sunt deosebit de avantajoase în exploatarea procedurilor, existente pentru o operațiune, prin mici modificări și pentru altele., De exemplu, computerele digitale pot reutiliza circuitele de adăugare existente și pot salva circuite suplimentare pentru implementarea unei scăderi, folosind metoda complementului a două pentru reprezentarea inverselor aditive, care este extrem de ușor de implementat în hardware (negare). Compromisul este reducerea la jumătate a intervalului de numere pentru o lungime fixă a cuvântului.
o metodă de răspândire anterior largă pentru a obține o sumă de schimbare corectă, cunoscând sumele datorate și date, este metoda de numărare în sus, care nu generează în mod explicit valoarea diferenței., Să presupunem că o sumă P este dat în scopul de a plăti suma necesară Q, cu P mai mare decât Q. mai Degrabă decât în mod explicit efectuarea scăderea P − Q = C și de numărare faptul că suma C în schimb, banii sunt numărate începând cu succesorul lui Q, și continuă în pași de moneda, până când P este de ajuns. Deși suma numărată trebuie să fie egală cu rezultatul scăderii P-Q, scăderea nu a fost niciodată făcută cu adevărat, iar valoarea P − Q nu este furnizată prin această metodă.,
MultiplicationEdit
Multiplicare, notate cu simbolurile × {\displaystyle \ori } sau ⋅ {\displaystyle \cdot } , este cea de-a doua operație de bază de aritmetică. Multiplicarea Combină, de asemenea, două numere într-un singur număr, produsul. Cele două numere originale sunt numite multiplicatorul și multipliculși, în mare parte ambele sunt pur și simplu numite factori.
multiplicarea poate fi văzută ca o operație de scalare., Dacă numerele sunt imaginate ca fiind situate într-o linie, înmulțirea cu un număr mai mare de 1, să zicem x, este aceeași cu întinderea totul de la 0 uniform, astfel încât numărul 1 în sine să fie întins până unde a fost x. În mod similar, înmulțirea cu un număr mai mic de 1 poate fi imaginată ca stoarcere spre 0, astfel încât 1 să meargă la multiplicand.
o altă viziune asupra multiplicării numerelor întregi (extensibilă la raționaluri, dar nu foarte accesibilă pentru numere reale) este considerând-o ca adăugare repetată. De exemplu., 3 × 4 corespunde fie adăugând 3 ori un 4, sau 4 ori un 3, dând același rezultat. Există opinii diferite cu privire la avantajele acestor paradigmate în educația matematică.înmulțirea este comutativă și asociativă; în plus, este distributivă față de adunare și scădere. Identitatea multiplicativă este 1, deoarece înmulțirea oricărui număr cu 1 produce același număr. Inversul multiplicativ pentru orice număr, cu excepția 0, este reciprocul acestui număr, deoarece înmulțirea reciprocului oricărui număr cu numărul în sine produce identitatea multiplicativă 1., 0 este singurul număr fără invers multiplicativ, iar rezultatul înmulțirii oricărui număr și 0 este din nou 0. Se spune că 0 nu este conținut în grupul multiplicativ al numerelor.produsul a și b este scris ca A × b sau a * b. când a sau b sunt expresii care nu sunt scrise pur și simplu cu cifre, este scris și prin juxtapunere simplă: ab. În limbajele de programare și pachetele software (în care se pot folosi doar caractere găsite în mod normal pe o tastatură), este adesea scris cu un asterisc: a * b.,
algoritmii care implementează operația de înmulțire pentru diferite reprezentări ale numerelor sunt cu mult mai costisitori și mai laborioși decât cei pentru adăugare. Cele accesibile pentru calcul manual, fie se bazează pe descompunerea factorilor la valori unice de loc și aplicarea adăugării repetate, fie pe utilizarea tabelelor sau a regulilor de diapozitive, mapând astfel multiplicarea la adăugare și invers. Aceste metode sunt depășite și sunt înlocuite treptat de dispozitive mobile., Calculatoarele utilizează diverse algoritmi sofisticați și extrem de optimizați, pentru a implementa înmulțirea și împărțirea pentru diferitele formate de numere acceptate în sistemul lor.
DivisionEdit
Divizia a, notate cu simbolurile ÷ {\displaystyle \div } și / sau {\displaystyle /} , este, în esență, inversul operației de înmulțire. Divizia găsește coeficientul a două numere, dividendul împărțit de divizor. Orice dividend împărțit la zero este nedefinit., Pentru numerele pozitive distincte, dacă dividendul este mai mare decât divizorul, coeficientul este mai mare decât 1, altfel este mai mic decât 1 (o regulă similară se aplică pentru numerele negative). Coeficientul înmulțit cu divizorul dă întotdeauna dividendul.diviziunea nu este nici comutativă, nici asociativă. Așa cum se explică în § scădere, construcția diviziunii în algebra modernă este aruncată în favoarea construirii elementelor inverse în ceea ce privește înmulțirea, așa cum este introdus în § înmulțire., Prin urmare, divizia de multiplicare a dividendului cu reciproca de divizor, ca factori, care este, o ÷ b = a × 1/b.
În numere naturale, există, de asemenea, diferite, dar legate de noțiunea numit diviziunea Euclidian, care generează două numere după „împărțirea” natural N (numărător) de către o persoană fizică D (numitor): în primul rând o persoană fizică Q (coeficientul), și al doilea natural R (rest) astfel încât N = D×Q + R și 0 ≤ R < Q.