Vad är koniska sektioner?
koniska sektioner erhålls genom korsningen av ytan på en kon med ett plan och har vissa funktioner.,
learning Objectives
beskriv delarna av en konisk sektion och hur koniska sektioner kan ses som tvärsnitt av en dubbelkon
viktiga Takeaways
nyckelpunkter
- en konisk sektion (eller helt enkelt konisk) är en kurva som erhålls som skärningspunkten mellan ytan på en kon med ett plan; de tre typerna är parabolas, ellipser, och hyperboler.
- en konisk sektion kan graferas på ett koordinatplan.
- varje konisk sektion har vissa funktioner, inklusive minst ett fokus och directrix., Parabolas har ett fokus och directrix, medan ellipser och hyperbolas har två av vardera.
- en konisk sektion är uppsättningen punkter P vars
avstånd till fokus är en konstant multipel av avståndet från P till directrix av conic.
nyckeltermer
- vertex: en extrem punkt på en konisk sektion.
- asymptote: en rak linje som en kurva närmar sig godtyckligt nära när den går till oändligheten.
- locus: uppsättningen av alla punkter vars koordinater uppfyller en given ekvation eller tillstånd.,
- fokus: en punkt som används för att konstruera och definiera en konisk sektion, vid vilken strålar som reflekteras från kurvan konvergerar (plural: foci).
- nappe: hälften av en dubbel kon.
- konisk sektion: varje kurva som bildas av skärningspunkten mellan ett plan med en kon med två blöjor.
- directrix: en linje som används för att konstruera och definiera en konisk sektion; en parabola har en directrix; ellipser och hyperbolas har två (plural: directrices).,
definiera koniska sektioner
en konisk sektion (eller helt enkelt konisk) är en kurva som erhålls som skärningspunkten mellan ytan på en kon med ett plan. De tre typerna av koniska sektioner är hyperbola, parabola och ellipsen. Cirkeln är typ av ellips, och anses ibland vara en fjärde typ av konisk sektion.
koniska sektioner kan genereras genom att skära ett plan med en kon. En kon har två identiskt formade delar som kallas blöjor. En nappe är vad de flesta människor menar med ”kon” och har formen av en festhatt.,
koniska sektioner genereras av skärningspunkten mellan ett plan med en kon. Om planet är parallellt med rotationsaxeln (y-axeln), är koniska sektionen en hyperbola. Om planet är parallellt med genereringslinjen är koniska sektionen en parabola. Om planet är vinkelrätt mot rotationsaxeln är koniska sektionen en cirkel. Om planet skär en nappe i en vinkel mot axeln (annan än 90^{\circ}), är koniska sektionen en ellips.,
en kon och koniska sektioner: napparna och de fyra koniska sektionerna. Varje konisk bestäms av vinkeln som planet gör med konens axel.
vanliga delar av Conic sektioner
medan varje typ av conic avsnitt ser mycket olika, de har vissa funktioner gemensamt. Till exempel har varje typ minst ett fokus och directrix.
ett fokus är en punkt om vilken koniska sektionen är konstruerad. Med andra ord är det en punkt om vilken strålar som reflekteras från kurvan konvergerar., En parabola har ett fokus om vilken formen är konstruerad; en ellips och hyperbola har två.
en directrix är en linje som används för att konstruera och definiera en konisk sektion. Avståndet för en directrix från en punkt på koniska sektionen har ett konstant förhållande till avståndet från den punkten till fokus. Som med fokus har en parabola en directrix, medan ellipser och hyperbolas har två.
dessa egenskaper som conic-sektionerna delar presenteras ofta som följande definition, som kommer att utvecklas vidare i följande avsnitt., En konisk sektion är platsen för punkterna P vars avstånd till fokus är en konstant multipel av avståndet från P till conic: s directrix. Dessa avstånd visas som orange linjer för varje konisk sektion i följande diagram.
delar av koniska sektioner: de tre koniska sektionerna med foci och direktriser märkta.
varje typ av konisk sektion beskrivs närmare nedan.,
Parabola
en parabola är uppsättningen av alla punkter vars avstånd från en fast punkt, kallad fokus, är lika med avståndet från en fast linje, kallad directrix. Punkten halvvägs mellan fokus och directrix kallas parabolens toppunkt.
i nästa figur visas fyra parabolier som de visas på koordinatplanet. De kan öppna upp, ner, till vänster eller till höger.
fyra parabolas, som öppnas i olika riktningar: vertexen ligger vid mittpunkten mellan directrix och fokus.,
ellipser
en ellips är uppsättningen av alla punkter för vilka summan av avstånden från två fasta punkter (foci) är konstant. I fallet med en ellips finns det två foci och två direktriser.
i nästa figur visas en typisk ellips som den visas på koordinatplanet.
ellips: summan av avstånden från vilken punkt som helst på ellipsen till foci är konstant.,
hyperboler
en hyperbola är uppsättningen av alla punkter där skillnaden mellan deras avstånd från två fasta punkter (foci) är konstant. Vid hyperbola finns det två foci och två riktpriser. Hyperboler har också två asymptoter.
ett diagram över en typisk hyperbola visas i nästa figur.
Hyperbola: skillnaden mellan avstånden från vilken punkt som helst på ellipsen till foci är konstant. Den tvärgående axeln kallas också huvudaxeln, och den konjugerade axeln kallas också den mindre axeln.,
tillämpningar av koniska sektioner
koniska sektioner används inom många studieområden, särskilt för att beskriva former. Till exempel används de i astronomi för att beskriva formerna för banorna av objekt i rymden. Två massiva föremål i rymden som interagerar enligt Newtons lag om universell gravitation kan röra sig i banor som är i form av koniska sektioner. De kan följa ellipser, parabolas eller hyperbolas, beroende på deras egenskaper.
excentricitet
varje konisk sektion har en konstant excentricitet som ger information om dess form.,
lärandemål
diskutera hur excentriciteten hos en konisk sektion beskriver sitt beteende
viktiga Takeaways
nyckelpunkter
- excentricitet är en parameter som är associerad med varje konisk sektion, och kan tänkas
av som ett mått på hur mycket koniska sektionen avviker från att vara cirkulär. - excentriciteten hos en konisk sektion definieras som avståndet från vilken punkt som helst på koniska sektionen till dess fokus, dividerat med det vinkelräta avståndet från den punkten till närmaste directrix.,
- värdet på e kan användas för att bestämma typen av konisk sektion. Om e= 1 Det är en parabola, om e < 1 Det är en ellips, och om e > 1 Det är en hyperbola.
nyckeltermer
- excentricitet: en parameter i en konisk sektion som beskriver hur mycket koniska sektionen avviker från att vara cirkulär.
definiera excentricitet
excentriciteten, betecknad e, är en parameter som är associerad med varje konisk sektion. Det kan ses som ett mått på hur mycket koniska sektionen avviker från att vara cirkulär.,
excentriciteten hos en konisk sektion definieras som avståndet från vilken punkt som helst på koniska sektionen till dess fokus, dividerat med det vinkelräta avståndet från den punkten till närmaste directrix. Värdet av e är konstant för alla koniska avsnitt. Den här egenskapen kan användas som en allmän definition för koniska sektioner., Värdet av e kan också användas för att bestämma typen av konisk sektion:
- Om E = 1, är conic en parabola
- Om e < 1, Det är en ellips
- om e > 1, Det är en hyperbola
excentriciteten hos en konisk sektion är en cirkeln är noll. Observera att två koniska sektioner är likartade (identiskt formade) om och endast om de har samma excentricitet.
minns att hyperboler och icke-cirkulära ellipser har två foci och två associerade riktpriser, medan paraboler har ett fokus och en directrix., I nästa figur är varje typ av konisk sektion graferad med fokus och directrix. De orange linjerna betecknar avståndet mellan fokus och punkter på koniska sektionen, liksom avståndet mellan samma punkter och directrix. Dessa är de avstånd som används för att hitta excentriciteten.
koniska sektioner och deras delar: excentricitet är förhållandet mellan avståndet från vilken punkt som helst på koniska sektionen till dess fokus och det vinkelräta avståndet från den punkten till närmaste directrix.,
konceptualisering excentricitet
från definitionen av en parabola är avståndet från vilken punkt som helst på parabolen till fokus lika med avståndet från samma punkt till directrix. Därför måste excentriciteten hos en parabola per definition vara 1.
för en ellips är excentriciteten mindre än 1. Detta innebär att täljaren i förhållandet som definierar excentricitet är mindre än nämnaren. Med andra ord är avståndet mellan en punkt på en konisk sektion och dess fokus mindre än avståndet mellan den punkten och närmaste directrix.,
omvänt är excentriciteten hos en hyperbola större än 1. Detta indikerar att avståndet mellan en punkt på en konisk sektion närmaste directrix är mindre än avståndet mellan den punkten och fokus.
typer av koniska sektioner
koniska sektioner bildas genom korsningen av ett plan med en kon, och deras egenskaper beror på hur denna korsning sker.,
lärandemål
diskutera egenskaperna hos olika typer av koniska sektioner
viktiga Takeaways
nyckelpunkter
- koniska sektioner är en viss typ av form som bildas av skärningspunkten mellan ett plan och en höger cirkulär kon. Beroende på vinkeln mellan planet och konen kan fyra olika skärningsformer bildas.
- typerna av koniska sektioner är cirklar, ellipser, hyperbolas och parabolas.
- varje konisk sektion har också en degenererad form; dessa har formen av punkter och linjer.,
nyckeltermer
- degenerera: en konisk sektion som inte passar standardform av ekvation.
- asymptote: en linje som en krökt funktion eller form närmar sig men aldrig berör.
- hyperbola: den koniska sektionen som bildas av att planet är vinkelrätt mot konens botten.
- fokus: en punkt bort från en krökt linje, runt vilken kurvan böjer sig.
- cirkel: den koniska sektionen som bildas av planet är parallellt med basen av konen.
- ellips: den koniska sektionen som bildas av att planet befinner sig i en vinkel mot konens botten.,
- excentricitet: en dimensionslös parameter som karakteriserar formen på en konisk sektion.
- Parabola: den koniska sektionen som bildas av planet är parallellt med konen.
- vertex: vändpunkten för en krökt form.
koniska sektioner är en viss typ av form som bildas av skärningspunkten mellan ett plan och en höger cirkulär kon. Beroende på vinkeln mellan planet och konen kan fyra olika skärningsformer bildas. Varje form har också en degenererad form., Det finns en egenskap hos alla koniska sektioner som kallas excentricitet, som har formen av en numerisk parameter e. de fyra koniska sektionsformerna har olika värden för e.
typer av koniska sektioner: den här siffran visar hur koniska sektionerna, i ljusblå, är resultatet av ett plan som skär en kon. Bild 1 visar en parabola, bild 2 visar en cirkel (botten) och en ellips (överst), och bild 3 visar en hyperbola.,
Parabola
en parabola bildas när planet är parallellt med konens yta, vilket resulterar i en U-formad kurva som ligger på planet. Varje parabola har vissa funktioner:
- ett vertex, vilket är den punkt där kurvan vänder sig om
- ett fokus, vilket är en punkt som inte ligger på kurvan om vilken kurvan böjer
- en symmetriaxel, som är en linje som förbinder vertexen och fokus som delar parabolen i två lika stora halvor
alla parabolas har ett excentricitetsvärde E=1., Som ett direkt resultat av att ha samma excentricitet är alla parabolas likartade, vilket innebär att någon parabola kan omvandlas till någon annan med förändring av position och skalning. Det degenererade fallet med en parabola är när planet bara knappt berör konens yttre yta, vilket innebär att det är tangent mot konen. Detta skapar en rak linje skärningspunkt ur konens diagonala.
icke-degenererade paraboler kan representeras med kvadratiska funktioner som
f(x) = x^2
cirkel
en cirkel bildas när planet är parallellt med konens botten., Dess korsning med konen är därför en uppsättning punkter lika långt från en gemensam punkt (konens centrala axel), som uppfyller definitionen av en cirkel. Alla cirklar har vissa funktioner:
- en mittpunkt
- en radie, som avståndet från vilken punkt som helst på cirkeln till mittpunkten
alla cirklar har en excentricitet e=0. Således, som parabolen, är alla cirklar likartade och kan omvandlas till varandra., På ett koordinatplan är den allmänna formen av cirkelns ekvation
(x-H)^2 + (y-k)^2 = r^2
var (h,k) är koordinaterna för cirkelns mitt och r är radien.
cirkelns degenererade form uppstår när planet endast skär själva spetsen av konen. Detta är en enda punktskärningspunkt, eller likvärdigt en cirkel med nollradie.
koniska sektioner graferade av excentricitet: den här grafen visar en ellips i rött, med ett excentricitetsvärde på 0.,5, en parabola i grönt med den erforderliga excentriciteten av 1, och en hyperbola i blått med ett exempel excentricitet av 2. Det visar också ett av de degenererade hyperbola-Fallen, den raka svarta linjen, som motsvarar oändlig excentricitet. Cirkeln ligger på insidan av parabolen, som ligger på insidan av ena sidan av hyperbolen, som har den horisontella linjen under den. På detta sätt kan ökad excentricitet identifieras med ett slags utfällning eller öppning av koniska sektionen.,
ellips
När Planets vinkel i förhållande till konen ligger mellan konens utsida och basen av konen är den resulterande korsningen en ellips. Definitionen av en ellips innefattar också att vara parallell med konens botten, så alla cirklar är ett speciellt fall av ellipsen., Ellipser har dessa funktioner:
- en huvudaxel, som är den längsta bredden över ellipsen
- en mindre axel, som är den kortaste bredden över ellipsen
- ett centrum, vilket är skärningspunkten mellan de två axlarna
- två kontaktpunkter —för vilken punkt som helst på ellipsen är summan av avstånden till båda kontaktpunkterna en konstant
ellipser kan ha en rad excentricitetsvärden: 0 \leq e < 1. Observera att värdet 0 ingår (en cirkel), men värdet 1 ingår inte (det skulle vara en parabola)., Eftersom det finns en rad excentricitetsvärden är inte alla ellipser likartade. Den allmänna formen av ekvationen för en ellips med huvudaxel parallell med X-axeln är:
\displaystyle {\frac {(x-H)^2}{a^2} + \frac {(y-k)^2}{b^2} = 1 }
den degenererade formen av en ellips är en punkt eller cirkel med nollradie, precis som den var för cirkeln.
Hyperbola
en hyperbola bildas när planet är parallellt med konens centrala axel, vilket betyder att det skär båda delarna av dubbelkonan.,Nches, liksom dessa funktioner:
- Asymptotlinjer—det här är två linjära grafer som kurvan för hyperbola närmar sig, men rör aldrig
- ett centrum, vilket är skärningen av asymptoterna
- två kontaktpunkter, runt vilka var och en av de två grenarna böjer
- två hörn, en för varje gren
den allmänna ekvationen för en hyperbola med hörn på en horisontell linje är:
\displaystyle{ \frac{(x-H)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
excentriciteten hos en hyperbola är begränsad till e > 1, och har ingen övre gräns., Om excentriciteten får gå till gränsen för +\infty (positiv oändlighet) blir hyperbola ett av dess degenererade fall—en rak linje. Det andra degenererade fallet för en hyperbola är att bli dess två raka asymptoter. Detta händer när planet skär toppen av den dubbla konen.