i matematik är den kvadrerade symbolen (2) en aritmetisk operatör som betyder att multiplicera ett tal av sig själv. ”Torget” av ett nummer är produkten av numret och sig själv. Att multiplicera ett tal i sig kallas ”kvadrering” numret. Kvadrering av ett nummer är en mer specifik instans av den allmänna exponentieringsoperationen, exponentiering när exponenten är 2. Squaring ett nummer är detsamma som att höja det numret till kraften i två. Den kvadratiska funktionen (ƒ (x)=x2) är inversen av kvadratrotfunktionen (ƒ(x)=√x).,
höjning av ett nummer n till kraften av 2 kallas ”kvadrering” eftersom det resulterande numret N2 motsvarar området för en kvadrat med sidor av längd n. kvadratisk funktion är en extremt användbar funktion i algebra, trigonometri och fysik. I algebra bildar kvadratfunktionen ryggraden i några enklaste typer av polynom (quadratics). I trigonometri används kvadratfunktionen för att hitta motsvarande vinklar och sidlängder av kongruenta trianglar, ett användbart koncept för modellering av periodiska fenomen., I fysik kan kvadratfunktionen användas för att beräkna avstånd mellan två punkter (i form av Pythagoras sats) och modellerade fenomen tar ofta den matematiska formen av en fyrkantig funktion, särskilt ekvationer som involverar hastighet och acceleration.
kvadrering: grunderna
kvadrering ett nummer är enkelt: bara multiplicera numret av sig själv: symbolen 32 betyder bara 3×3., I allmänhet, för valfritt antal n:
N2 = n × n
vidare har fyrkantsfunktionen den intressanta egenskapen som sätter in tillsatsen inverse av n ger dig samma nummer: det vill säga:
N2 = (−n)2
strängt taget är varje positivt tal kvadraten på exakt två tal, ett positivt och ett negativt tal.nummer. 4 är kvadraten på både 2 och -2. Ett tal som är kvadraten på ett heltal kallas en perfekt kvadrat., I allmänhet, ju längre ner nummer linje en går, desto längre och vidare sprida ut fördelningen av fulländar rutor. Denna trend beror på att kvadratfunktionen växer exponentiellt; dvs dess tillväxttakt är proportionell mot dess nuvarande värde.
den omvända kvadratiska funktionen är kvadratrotfunktionen ƒ(x) = √x. kvadratroten av ett nummer n är något sådant att a2 = n. eftersom både ett tal och dess tillsats inverse kvadrat för att få samma resultat har varje positivt reellt tal exakt 2 rötter + √X och – √X, ibland uttryckt som ±√x., I de flesta sammanhang hänvisar ”kvadratroten” av ett tal bara till sin positiva rot. Den speciella definitionen av kvadratrotfunktionen gör det så att inget negativt reellt tal har en kvadratrot, eftersom inget tal multiplicerat med sig själv kommer att producera ett negativt tal. Negativa tal har kvadratiska rötter i det komplexa nummersystemet, men inte i det verkliga nummersystemet.
ett diagram över funktionen x2 ser ut:
Lägg märke till hur grafen är perfekt speglad längs den vertikala Y-axeln., Grafens form motsvarar det faktum att varje positivt reellt tal är kvadraten av både ett positivt och negativt tal (utom noll). Som sådan är det möjligt att en funktion i den allmänna formen av kvadratfunktionen inte kommer att ha några rötter—det finns ingen n sådan att ƒ (n) = 0. Visuellt betyder det att vissa fyrkantiga funktioner aldrig kommer att korsa x-axeln.
användning av kvadratisk funktion
Algebra
kvadratisk funktion utgör ryggraden i en särskild klass av polynomekvationer som kallas kvadratiska ekvationer., Ett kvadratiskt polynom av grad 2: det vill säga något polynom i formen:
ax2 + bx + c
där A, b och c är alla reella tal och en 0. termerna A, B och c kallas kvadratisk, linjär och konstant koefficient. Kvadratiska ekvationer kan vägas för att hitta sina rötter-värden av x för vilka hela ekvationen är lika med 0., Alternativt kan man använda den kvadratiska ekvationen för att lösa för rötterna till ett kvadratiskt polynom:
kvadratisk ekvation är användbara för modelleringsrörelse, eftersom kurvan för accelererad rörelse tar formen av en fyrkantig kurva. Om någon rörelse har en konstant accelerationshastighet, kommer en graf över sin rörelse att vara en kvadratisk ekvation. Den geometriska formen av den kvadratiska funktionen kallas en parabola.
geometri
fyrkantsfunktionen har många användningsområden i geometri. Mest självklart kan kvadratfunktionen användas för att hitta kvadratens område., Det är ett allmänt känt faktum att området av en kvadrat med sidor av längd n är lika med n2. Detta följer av ekvationen för området av en rektangel (och parallellogram mer allmänt) där A = L×w. en kvadrat är helt enkelt en rektangel där längden och bredden är desamma. Det faktum att området av en kvadrat är en fyrkantig funktion förklarar en egenskap om tillväxten av fyrkantigt område: området kvadrat vars längd är n gånger längre har N2 mer område.
kvadrering används också för att hitta avstånd mellan två punkter i samband med Pythagoras sats. Pythagoras teorem berättar att kvadraten på sidorna av en höger triangel (en triangel med 90° vinkel) är lika med hypotenusans kvadrat (a2+b2=c2). Denna formel kan användas för att beräkna avståndet mellan ursprungspunkten för en koordinataxel (0, 0) och någon godtycklig punkt (x, y). Man kan rita en linje som sträcker sig från ursprungspunkten X enheter horisontellt, sedan en linje som sträcker sig från den punkten y enheter vertikalt., Den ritade formen kommer att vara en rätt triangel, och avståndet mellan ursprunget (0, 0) och punkten (x, y) kan beräknas som hypotenusen av en rätt triangel med sidlängder x och y.
Pythagoras sats är ett speciellt fall av den mer allmänna parallellogramlagen som relaterar längden på sidorna av ett parallellogram till dess diagonaler: parallellogramlagen säger att summan av kvadraten av längderna på de fyra sidornas längder är lika med summan av kvadraten på diagonalerna. Säg att vi har ett parallellogram med sidor AB, BC, CD och DA och diagonaler AC och BD., Parallellogramlagen säger oss att:
AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2
eftersom i ett parallellogram är motsatta sidor per definition lika i längder kan denna ekvation bara skrivas om som:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
Pythagoras teorem faller ut ur denna ekvation när det gäller en rektangel, där diagonalerna är lika långa.
Trigonometri
kvadrering dyker också upp i lagar som rör längderna på sidorna av en triangel till dess vinklar, i form av cosinuslagen., Enkelt uttryckt säger cosinuslagen att för en triangel med längder A, b och c och motsatta vinklar A, B och c:
C2= a2 + b2 – 2AB×cos(C)
cosinuslagen kan skrivas om för att lösa för varje variabel som ger en ekvation med exakt samma form, så samma ekvation kommer att fungera för vilken sida som helst. Cosinuslagen gör att du kan bestämma de andra komponenterna i en triangel om du känner till längden på minst två sidor och en vinkel. Ekvationen förenklar också att ge Pythagoras sats vid rätt trianglar. I fallet med högra trianglar, C = 90, så cos (C) = 0., Den högra delen av ekvationen avbryter ut, och vi är kvar med c2 = a2 + b2
i fysik
i fysiken, kvadratiska funktionen återkommer ofta huvudet i samband med ekvationer beskriva intensiteten av vissa fysiska kvantitet som en funktion av avstånd. På grund av rymdens 3-D-geometri är intensiteten hos någon fysisk kvantitet som strålar utåt i en sfär runt källan omvänd proportionell mot kvadraten av avståndet från källan., Detta faktum följer av den geometriska lagen att ytan på en sfär (4nr2) är direkt proportionell mot sfärens radie kvadrerad (r2).
gravitationskraften är till exempel en omvänd kvadratisk kraft, eftersom styrkan hos gravitationsattraktionen mellan två kroppar är direkt proportionell mot massan av dessa kroppar och omvänt proportionell mot kvadraten av avståndet mellan dessa kroppar., Detta framgår av den matematiska formen av Newtons gravitationslag
Fg= g (M1×m2)/D2
där m1 och m2 är kropparnas massor och d är avståndet mellan deras tyngdpunkter. För övrigt har kraften av elektrostatisk attraktion mellan två kroppar också formen av en omvänd kvadratisk lag, liksom den uppmätta ljusintensiteten mätt från en punktkälla.
kvadratisk notation används också för att definiera måttenheter i fysik. Till exempel mäts accelerationen, hastigheten för hastighetsförändring, i enheten m / s2., Detta kan läsas ” meter per sekund per sekund.”Om hastigheten är förändringen i avstånd med avseende på tid, är accelerationen förändringen i hastighet med avseende på tid. Acceleration är ett mått på hur mycket hastighet förändras vid varje rörelsepunkt. Om min acceleration är 6 m/s2 betyder det att min hastighet (m / s) ökar med 6 för varje sekund av rörelse, därmed meter per sekund per sekund.