Newtonisk vätska

ett element i en flytande vätska eller gas kommer att drabbas av krafter från den omgivande vätskan, inklusive viskösa stresskrafter som gör att den gradvis deformeras över tiden. Dessa krafter kan matematiskt approximeras till första ordningen med en viskös spännings tensor, som vanligtvis betecknas med τ {\displaystyle \tau } .

deformationen av det fluidelementet, i förhållande till något tidigare tillstånd, kan approximeras till första ordningen med en spännings tensor som ändras med tiden., Tidsderivatet av den tensorn är spänningshastigheten tensor, som uttrycker hur elementets deformation förändras med tiden; och är också gradienten av hastighetsvektorfältet V {\displaystyle v} vid den punkten, ofta betecknad V {\displaystyle \ nabla v} .,/p>

inkompressibel isotropisk caseEdit

för en inkompressibel och isotrop newtonisk vätska är den viskösa stressen relaterad till stamhastigheten med den enklare ekvationen

τ = μ d u d y {\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}

där

τ {\displaystyle \tau } är skjuvspänningen (”dra”) i vätskan, μ {\displaystyle \mu } är en skalär konstant proportionalitet, Skjuvviskositeten hos vätskan d u d y {\displaystyle {\frac {du}{dy}}} är derivatet av hastighetskomponenten som är parallell med skjuvriktningen, i förhållande till förskjutningen i vinkelrät riktning.,, denna ekvation kan skrivas i form av ett godtyckligt koordinatsystem som

τ I J = μ (v i i j + j+v j i ) {\displaystyle \tau _{IJ}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}} + {\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}}\right)}

där

x J {\displaystyle x_ {\partial {J}} är J {\displaystyle J} TH rumslig koordinat V I {\displaystyle V_ {i}} är vätskans hastighet i riktning mot axeln i {\displaystyle i} τ I J {\displaystyle\tau _{IJ}} är J {\displaystyle j} TH-komponenten i stressen som verkar på vätskeelementets ansikten vinkelrätt mot axeln i {\displaystyle i}.,

man definierar också en total spännings tensor σ {\displaystyle \mathbf {\sigma } }, som kombinerar skjuvspänningen med konventionellt (termodynamiskt) tryck p {\displaystyle P} ., Stress-shear ekvationen blir då

σ i j = − δ p i j + μ ( ∂ v ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{jag}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{jag}}}\höger)}

eller skrivna i en mer kompakt tensor notation

σ = − p jag + μ ( ∇ v + ∇ v T ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } =-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\nabla \mathbf {v} ^{T}\höger)}

där jag {\displaystyle \mathbf {jag} } identitet tensor.,

för anisotropa fluidsEdit

mer allmänt, i en icke-isotrop newtonisk vätska, koefficienten μ {\displaystyle \mu } som relaterar inre friktionsspänningar till de rumsliga derivaten i hastighetsfältet ersätts av en nio-element viskös spännings tensor μ I j {\displaystyle \ mu _ {ij}} .,

det finns allmän formel för friktionskraft i en vätska: friktionskraftens vektordifferential är lika med viskositeten tensor ökad på vektorproduktdifferentialen i områdesvektorn för angränsande flytande lager och rotorhastighet:

d f = μ I J D s × r o t u {\displaystyle {D}\mathbf {f} {=}\mu _{ij}\,\mathbf {dS} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }

där μ I j viskositets tensor. De diagonala komponenterna i viskositeten tensor är molekylviskositet hos en vätska, och inte diagonala komponenter-turbulens virvelviskositet.,

newtonsk lag av viskosityedit

följande ekvation illustrerar förhållandet mellan skjuvhastighet och skjuvspänning:

τ = μ d u d y {\displaystyle \tau =\mu {du \över dy}} ,

var:

• τ är skjuvspänningen;
• μ är viskositeten, och
• d u d y {\textstyle {\frac {du}{dy}}} är skjuvhastigheten.

om viskositeten är konstant är vätskan newtonisk.

Power law modelEdit

power law-modellen används för att visa beteendet hos newtonska och icke-newtonska vätskor och mäter skjuvspänning som en funktion av stamhastighet.,

förhållandet mellan skjuvspänning, spänningshastighet och hastighetsgradienten för power law − modellen är:

τ = − m | γ | n-1 d v x D y {\displaystyle \tau =-m\left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n − 1}{\frac {dv_{x}}{dy}}} ,

var

• | γ | n-1 {\displaystyle \left\Vert {\Dot {\gamma }}\right\Vert ^{n-1}} är det absoluta värdet av stamhastigheten till (n-1) effekten;

• d v x d y {\textstyle {\frac {dv_{X}}{dy}}} är hastighetsgradienten;

• n är power law index.,

om

• n< 1 är vätskan en pseudoplast.
• n = 1 då vätskan är en newtonisk vätska.
• n> 1 då vätskan är en dilatant.,

Fluid modelEdit

förhållandet mellan skjuvspänningen och skjuvhastigheten i en casson fluidmodell definieras enligt följande:

τ = τ 0 + s d v d y {\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+s{\sqrt {DV \over dy}}}

där τ0 är avkastningsspänningen och

S = μ ( 1 − h ) α {\displaystyle s={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha}}}},

där α beror på proteinsammansättning och h är hematokritnumret.