Vad Är FEA | Finita Element-Analys?

Finite Element Analysis (FEA) är simuleringen av ett visst fysiskt fenomen med hjälp av den numeriska tekniken som kallas Finite Element Method (FEM). Ingenjörer använder FEA-programvara för att minska antalet fysiska prototyper och experiment och optimera komponenter i sin designfas för att utveckla bättre produkter, snabbare samtidigt som man sparar på kostnader.,

det är nödvändigt att använda matematik för att förstå och kvantifiera alla fysiska fenomen som strukturellt eller flytande beteende, termisk transport, vågförökning, tillväxt av biologiska celler etc. De flesta av dessa processer beskrivs med hjälp av partiella differentialekvationer (PDEs). Men för att en dator ska lösa dessa PDEs har numeriska tekniker utvecklats under de senaste decennierna och en av de framträdande är idag den ändliga Elementanalysen.,

differentialekvationer beskriver inte bara naturfenomen utan även fysiska fenomen som uppstår inom ingenjörsmekanik. Dessa partiella differentialekvationer (PDEs) är komplicerade ekvationer som måste lösas för att beräkna relevanta kvantiteter av en struktur (som spänningar (\(\epsilon\)), stammar (\(\epsilon\)) etc.) för att uppskatta det strukturella beteendet under en given belastning. Det är viktigt att veta att FEA bara ger en ungefärlig lösning på problemet och är ett numeriskt tillvägagångssätt för att få det verkliga resultatet av dessa partiella differentialekvationer., Förenklad, FEA är en numerisk metod som används för förutsägelse av hur en del eller montering beter sig under givna förhållanden. Den används som grund för modern simuleringsprogram och hjälper ingenjörer att hitta svaga fläckar, spänningsområden etc. i sin design. Resultaten av en simulering-baserat på FEA-metoden avbildas vanligtvis via en färgskala som exempelvis visar tryckfördelningen över objektet.

beroende på ens perspektiv kan FEA sägas ha sitt ursprung i Eulers arbete, så tidigt som 1500-talet., De tidigaste matematiska tidningarna om ändlig elementanalys finns dock i schellbachs och courants verk .

FEA utvecklades självständigt av ingenjörer inom olika branscher för att ta itu med strukturella mekanikproblem relaterade till flyg-och anläggningsarbeten. Utvecklingen för verkliga applikationer började runt mitten av 1950-talet som papper av Turner, Clough, Martin &Topp , Argyris och Babuska& Aziz show., Böckerna av Zienkiewicz och Strang & Fix lade också grunden för framtida utveckling inom FEA-programvaran.

dela upp och erövra

för att kunna göra simuleringar, ett nät, bestående av upp till miljontals små element som tillsammans bildar strukturens form, måste skapas., Beräkningar görs för varje enskilt element. Att kombinera de enskilda resultaten ger oss det slutliga resultatet av strukturen. De approximationer som vi just nämnde är vanligtvis polynom och faktiskt interpoleringar över elementet / elementen. Detta innebär att vi känner till värden på vissa punkter inom elementet men inte vid varje punkt. Dessa ”vissa punkter” kallas nodala punkter och ligger ofta vid gränsen för elementet. Noggrannheten med vilken variabeln ändras uttrycks av viss approximation för t.ex. linjär, kvadratisk, kubisk etc., För att få en bättre förståelse för approximationstekniker kommer vi att titta på en endimensionell bar. Tänk på den sanna temperaturfördelningen T(x) längs baren i bilden nedan:

låt oss anta att vi känner till temperaturen i denna bar vid 5 specifika positioner (nummer 1-5 i illustrationen)., Nu är frågan: Hur kan vi förutsäga temperaturen mellan dessa punkter? En linjär approximation är ganska bra men det finns bättre möjligheter att representera den verkliga temperaturfördelningen. Om vi väljer en kvadratisk approximation är temperaturfördelningen längs baren mycket smidigare. Ändå ser vi att oavsett polynom graden är fördelningen över stången känd när vi känner till värdena vid nodpunkterna. Om vi skulle ha en oändlig bar skulle vi ha en oändlig mängd okända (frihetsgrader (DOF))., Men i det här fallet har vi ett problem med ett” begränsat ” antal okända:

ett system med ett begränsat antal okända kallas ett diskret system. Ett system med ett oändligt antal okända kallas ett kontinuerligt system.

för approximationer kan vi hitta följande relation för en fältkvantitet \(u(x)\):

$$u(x) = u^H(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

linjen som visas överst visar denna princip för ett 1D-problem., \(u\) kan representera temperaturen längs längden på en stång som värms upp på ett ojämnt sätt. I vårt fall finns det fyra element längs X-axeln, där funktionen definierar linjär approximation av temperaturen som illustreras med prickar längs linjen.

en av de största fördelarna vi har när vi använder den ändliga Elementanalysen är att vi antingen kan variera diskretiseringen per element eller diskretisera motsvarande basfunktioner. De facto skulle vi kunna använda mindre element i regioner där höga gradienter av \(u\) förväntas., För att modellera brantheten i funktionen måste vi göra approximationer.

partiella differentialekvationer

innan du fortsätter med FEA själv är det viktigt att förstå de olika typerna av PDE och deras lämplighet för FEA. Förstå detta är viktigt för alla, oavsett motivation att använda ändliga element analys. Man bör ständigt påminna sig om att FEA-programvara är ett verktyg och något verktyg är bara lika bra som användaren.,

PDE: s kan kategoriseras som elliptiska (är ganska släta), hyperboliska (supportlösningar med diskontinuiteter) och paraboliska (beskriv tidsberoende diffusionsproblem). Vid lösning av dessa differentialekvationer måste gräns och/eller initiala förhållanden tillhandahållas. Baserat på typen av PDE kan de nödvändiga ingångarna utvärderas. Exempel på PDE: s i varje kategori inkluderar Poisson ekvation (elliptisk), våg ekvation (hyperbolisk) och Fourier lag (parabolisk).,

det finns två huvudsakliga metoder för att lösa elliptisk PDE: s – Finite Difference Analysis (FDA) och variationella (eller energi) metoder. FEA faller i den andra kategorin av variationsmetoder. Variationella tillvägagångssätt bygger främst på filosofin om energiminimering.

Hyperbolic PDE är vanligtvis associerade med hopp i lösningar., Vågekvationen är till exempel en hyperbolisk PDE. På grund av förekomsten av diskontinuiteter (eller hopp) i lösningar troddes den ursprungliga FEA-tekniken (eller Bubnov-Galerkin-metoden) vara olämplig för att lösa hyperboliska PDE: s. men genom åren har modifieringar utvecklats för att förlänga tillämpligheten av FEA-programvara och teknik.

det är viktigt att överväga konsekvensen av att använda ett numeriskt ramverk som är olämpligt för den typ av PDE som väljs. Sådan användning leder till lösningar som kallas ”felaktigt poserade”., Detta kan innebära att små förändringar i domänparametrarna leder till stora svängningar i lösningarna eller lösningarna finns endast på en viss del av domänen eller tiden. Dessa är inte tillförlitliga. Väl poserade lösningar definieras med en unik, som finns kontinuerligt för de definierade data. Därför, med tanke på tillförlitlighet, är det extremt viktigt att få dem.

den svaga och starka formuleringen

de matematiska modellerna av värmeledning och elastostatika som omfattas av denna serie består av (partiella) differentialekvationer med initiala såväl som gränsförhållanden., Detta kallas också den så kallade starka formen av problemet. Några exempel på ”starka former” ges i illustrationen nedan:

andra ordningens partiella differentialekvationer kräver en hög grad av jämnhet för lösningen \(u(x)\). Det betyder att det andra derivatet av förskjutningen måste existera och måste vara kontinuerligt! Detta innebär också krav på parametrar som inte kan påverkas som geometrin (skarpa kanter) och materialparametrarna (olika modul i ett material).,

för att utveckla formuleringen av ändliga element måste de partiella differentialekvationerna omräknas i en integrerad form som kallas den svaga formen. Den svaga formen och den starka formen är likvärdiga! I stressanalys kallas den svaga formen principen om virtuellt arbete.

$ $ \ int^l_0\frac{dw}{DX}AE\frac{du}{DX}DX=(wA\overline{t})_{x = 0} + \ int^l _0wbdx ~ ~ ~ \ forall w ~med ~ W (L)=0 \tag{3}$$

den givna ekvationen är den så kallade svaga formen (i detta fall den svaga formuleringen för elastostatika)., Namnet säger att lösningar på den svaga formen inte behöver vara så smidiga som lösningar av den starka formen, vilket innebär svagare kontinuitetskrav.

Du måste komma ihåg att lösningen som uppfyller den svaga formen också är lösningen av ekvationens starka motsvarighet. Kom också ihåg att testlösningarna \(u(x)\) måste uppfylla förskjutningsgränsförhållandena. Detta är en viktig egenskap hos försökslösningarna och det är därför vi kallar dessa gränsvillkor väsentliga gränsvillkor.

intresserar dessa formuleringar dig?, Om ja, läs mer i forumets ämne om ekvivalensen mellan den svaga och starka formuleringen av PDE för FEA.

minsta möjliga energi

den ändliga Elementanalysen kan också utföras med Variationsprincipen. Vid endimensionell elastostatik är minsta möjliga energi motståndskraftig för konservativa system. Jämviktsläget är stabilt om systemets potentiella energi är minimal. Varje infinitesimal störning av den stabila positionen leder till ett energiskt ogynnsamt tillstånd och innebär en återställande reaktion., Ett enkelt exempel är en vanlig glasflaska som står på marken, där den har minimal potentiell energi. Om det faller över, kommer ingenting att hända, förutom ett högt ljud. Om det står på hörnet av ett bord och faller över till marken, är det ganska troligt att bryta eftersom det bär mer energi mot marken. För variationsprincipen använder vi oss av detta faktum. Ju lägre energinivån är desto mindre sannolikt är det att få fel lösning., Den totala potentiella energin \(\Pi\) i ett system består av de inre krafternas arbete (stamenergi)

$$a_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} e(x)A(x) \left(\frac{du}{DX} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon a(x)} dx \tag{4}$$

och den totala potentiella energin\(\Pi\) i ett system består av de inre krafternas arbete(stamenergi)

$$arbete av de yttre krafterna

$$a_a = A(X)\overline{t} (x) u (X)/_{\gamma _t} \ tag{5}$$

den totala energin är:

$$ \ pi = a_i – a_a \ tag{6} $ $

hitta mer om den minsta potentiella energin i vårt relaterade forumämne.,

Mesh konvergens

en av de mest förbisedda problem i beräkningsmekanik som påverkar noggrannheten är mesh konvergens. Detta är relaterat till hur små elementen måste vara för att säkerställa att resultaten av en analys inte påverkas genom att ändra storleken på nätet.

figuren ovan visar konvergensen av en kvantitet med en ökning av frihetsgraderna. Som avbildad i figuren är det viktigt att först identifiera kvantiteten av intresse. Minst tre punkter måste beaktas och när maskdensiteten ökar börjar mängden ränta att konvergera till ett visst värde. Om två efterföljande maskförfiningar inte ändrar resultatet väsentligt, kan man anta att resultatet har konvergerat.,

gå in på frågan om mesh förfining, är det inte alltid nödvändigt att nätet i hela modellen är raffinerad. St. Venants princip bekräftar att de lokala påfrestningarna i en region inte påverkar stressen på annat håll. Därför kan modellen ur fysisk synvinkel endast förfinas i vissa regioner av intresse och vidare ha en övergångszon från grovt till fint nät., Det finns två typer av förbättringar (h-och p-förfining) som visas i figuren ovan. h-förfining avser minskningen av elementets storlekar, medan p-förfining avser att öka elementets ordning.

här är det viktigt att skilja mellan geometrisk effekt och nätkonvergens, speciellt när meshing en krökt yta med raka (eller linjära) element kommer att kräva fler element (eller nätförfining) för att fånga gränsen exakt., Mesh förfining leder till en betydande minskning av fel:

förfining som detta kan möjliggöra en ökning av konvergensen av lösningar utan att öka storleken på det övergripande problemet som löses.

hur mäter man konvergens?,

så nu när konvergensens betydelse har diskuterats, hur kan konvergensen mätas? Vad är en kvantitativ åtgärd för konvergens? Det första sättet skulle vara att jämföra med analytiska lösningar eller experimentella resultat.

fel i förskjutningarna:

$$e_u = u – u^h \tag{7}$$

var \(u\) är den analytiska lösningen för förskjutningsfältet.

fel av stammarna:

$$e_ \ epsilon = \ epsilon – \ epsilon^h \ tag{8}$$

var \ (\epsilon\) är den analytiska lösningen för stamfältet.,

fel på spänningarna:

$$e_\sigma = \sigma – \sigma^h \tag{9}$$

var \(\sigma\) är den analytiska lösningen för stressfältet.

som visas i ekvationerna ovan kan flera fel definieras för förskjutningar, stammar och påfrestningar. Dessa fel skulle kunna användas för jämförelse och de skulle behöva minska med mesh förfining. Läs mer om hur dessa fel beräknas med respektive normer för dessa kvantiteter här.,

Finita Element analys programvara

den ändliga Elementanalysen började med betydande löfte vid modellering av flera mekaniska applikationer relaterade till flyg-och civilingenjör. Tillämpningarna av ändliga Element metod har just börjat nå sin potential., En av de mest spännande utsikterna är dess tillämpning på kopplade problem som vätskestruktur interaktion; termo-mekaniska, termo-kemiska, termo-kemo-mekaniska problem piezoelektriska, ferroelektriska, elektromagnetiska och andra relevanta områden:

statisk

med statisk analys kan du analysera linjära statiska och olinjära kvasi-statiska strukturer. I ett linjärt fall med en applicerad statisk belastning behövs endast ett enda steg för att bestämma det strukturella svaret. Geometrisk, kontakt och material nonlinearitet kan beaktas. Ett exempel är en bärande kudde på en bro.,

dynamisk

dynamisk analys hjälper dig att analysera det dynamiska svaret hos en struktur som upplevde dynamiska belastningar under en viss tidsram. För att modellera de strukturella problemen på ett realistiskt sätt kan du också analysera effekterna av belastningar såväl som förskjutningar. Ett exempel är effekten av en mänsklig skalle, med eller utan hjälm.

Modal

Egenfrequencies och egenmodes av en struktur på grund av vibrationer kan simuleras med hjälp av modal analys. Toppresponsen hos en struktur eller ett system under en given belastning kan simuleras med harmonisk analys., Ett exempel är starten på en motor.

olika typer av ändlig Elementmetod

som diskuterats tidigare i avsnittet Om PDEs har traditionell FEM-teknik visat brister i modelleringsproblem relaterade till vätskemekanik, vågutbredning etc. Flera förbättringar har gjorts under de senaste två decennierna för att förbättra lösningsprocessen och utvidga tillämpligheten av ändlig elementanalys till en bred genre av problem., Några av de viktiga som fortfarande används är:

Extended Finite Element Method (XFEM)

Bubnov-Galerkin-metoden kräver kontinuitet i förskjutningar över element. Problem som kontakt, fraktur och skada innebär dock diskontinuiteter och hopp som inte kan hanteras direkt av ändliga elementmetoder. För att övervinna denna brist föddes XFEM på 1990-talet. XFEM fungerar genom expansionen av formfunktionerna med Heaviside step-funktioner., Extra frihetsgrader tilldelas noderna runt diskontinuitetspunkten så att hoppen kan övervägas.

generaliserad Finite Element Method (Gfem)

gfem introducerades ungefär samtidigt som XFEM på 90-talet. det kombinerar funktionerna i traditionell FEM-programvara och meshless metoder. Formfunktioner definieras främst i de globala koordinaterna och multipliceras ytterligare med partition-of-unity för att skapa lokala elementformfunktioner. En av fördelarna med GFEM är förebyggandet av re-meshing runt singulariteter.,

blandad Finita Element metod

i flera problem, som kontakt eller inkompressibilitet, begränsningar införs med hjälp av Lagrange multiplikatorer. Dessa extra frihetsgrader till följd av Lagrange multiplikatorer löses oberoende. Ekvationerna löses som ett kopplat system.

hp-Finite Element Method

hp-FEM är en kombination av att använda automatisk mesh förfining (h-förfining) och öka i storleksordningen polynom (p-förfining). Detta är inte detsamma som att göra h – och p – förbättringar separat., När automatisk hp-förfining används, och ett element är uppdelat i mindre element (h-förfining), kan varje element också ha olika polynomorder.

diskontinuerlig Galerkin Finite Element Method (DG-FEM)

DG-FEM har visat betydande löfte för att använda idén om ändliga element för att lösa hyperboliska ekvationer där traditionella ändliga elementmetoder har varit svaga. Dessutom har det också visat löfte i böjning och inkompressibla problem som vanligtvis observeras i de flesta materialprocesser., Här läggs ytterligare begränsningar till den svaga formen som inkluderar en straffparameter (för att förhindra interpenetration) och villkor för annan jämvikt av stress mellan elementen.

ändlig elementanalys& SimScale

FEA-programvarukomponenten i SimScale gör att du praktiskt taget kan testa och förutsäga beteendet hos strukturer och därmed lösa komplexa konstruktionstekniska problem som utsätts för statiska och dynamiska belastningsförhållanden., FEA-simuleringsplattformen använder skalbara numeriska metoder som kan beräkna matematiska uttryck som annars skulle vara mycket utmanande på grund av komplex lastning, geometrier eller materialegenskaper.

Senast uppdaterad: 20 januari 2021