Ableitung der Schallgeschwindigkeit in Luft
Wie bereits erwähnt, hängt die Schallgeschwindigkeit in einem Medium vom Medium und dem Zustand des Mediums ab. Die Ableitung der Gleichung für die Schallgeschwindigkeit in Luft beginnt mit der in der Strömungsmechanik diskutierten Massenstrom-und Kontinuitätsgleichung.
Abbildung 17.,8 Eine Schallwelle bewegt sich durch ein Flüssigkeitsvolumen. Die Dichte, Temperatur und Geschwindigkeit des Fluids ändern sich von einer Seite zur anderen.
Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass die in das Volumen eintretende Massendurchflussrate gleich der Massendurchflussrate ist, die das Volumen verlässt, also
Diese Gleichung kann vereinfacht werden, wobei darauf hingewiesen wird, dass die Fläche abgebrochen wird und berücksichtigt wird, dass die Multiplikation von zwei Infinitesimalen ungefähr gleich Null ist: d\rho (dv)\approx 0,
Die Nettokraft auf das Flüssigkeitsvolumen ((Abbildung)) entspricht der Summe der Kräfte auf der linken und der rechten Seite:
Abbildung 17.9 Eine Schallwelle bewegt sich durch ein Flüssigkeitsvolumen. Die Kraft auf jedem Gesicht kann durch den Druck in der Fläche gefunden werden.,
Aus der kontinuitätsgleichung \rho \,dv=\text{−}vd\rho , erhalten wir
Wenn die Luft kann als ideales gas können wir das ideale gasgesetz:
dabei ist M die molare Masse der Luft:
Da die Schallgeschwindigkeit gleich v=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}} ist, ist die Geschwindigkeit gleich
Eine der wichtigsten Eigenschaften von Schall ist, dass seine Geschwindigkeit nahezu unabhängig von der Frequenz ist. Diese Unabhängigkeit gilt sicherlich im Freien für Geräusche im hörbaren Bereich. Wenn diese Unabhängigkeit nicht wahr wäre, würden Sie es sicherlich für Musik bemerken, die zum Beispiel von einer Marschband in einem Fußballstadion gespielt wird., Angenommen, hochfrequente Klänge reisten schneller-je weiter Sie von der Band entfernt waren, desto mehr würde der Klang der Instrumente mit niedriger Tonhöhe von den Instrumenten mit hoher Tonhöhe abweichen. Aber die Musik von allen Instrumenten kommt in Kadenz unabhängig von der Entfernung, so dass alle Frequenzen müssen mit fast der gleichen Geschwindigkeit reisen. Daran erinnern, dass
Abbildung 17.10 Da sie sich in einem bestimmten Medium mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, müssen niederfrequente Töne eine größere Wellenlänge haben als hochfrequente., Hier werden die niederfrequenten Töne von dem großen Lautsprecher, einem so genannten Tieftöner, emittiert, während die höherfrequenten Töne von dem kleinen Lautsprecher, einem so genannten Hochtöner, emittiert werden.
Die Schallgeschwindigkeit kann sich ändern, wenn sich der Ton von einem Medium zum anderen bewegt, aber die Frequenz bleibt normalerweise gleich. Dies ist ähnlich der Frequenz einer Welle auf einer Saite, die gleich der Frequenz der Kraft ist, die die Saite oszilliert. Wenn sich v ändert und f gleich bleibt, muss sich die Wellenlänge \Lambda ändern., Das heißt, weil v=f \ Lambda, je höher die Geschwindigkeit eines Klangs ist, desto größer ist seine Wellenlänge für eine gegebene Frequenz.
Überprüfen Sie Ihr Verständnis
Stellen Sie sich vor, Sie beobachten, wie zwei Feuerwerkskörper explodieren. Sie hören die Explosion eines, sobald Sie es sehen. Sie sehen die andere Hülle jedoch mehrere Millisekunden lang, bevor Sie die Explosion hören. Erklären Sie, warum das so ist.
Obwohl Schallwellen in einer Flüssigkeit längs sind, bewegen sich Schallwellen in einem Festkörper sowohl als Längswellen als auch als Querwellen. Seismische Wellen, die im Wesentlichen Schallwellen in der Erdkruste sind, die durch Erdbeben erzeugt werden, sind ein interessantes Beispiel dafür, wie die Schallgeschwindigkeit von der Steifigkeit des Mediums abhängt., Erdbeben erzeugen sowohl Längs – als auch Querwellen und bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Der Massenmodul von Granit ist größer als sein Schermodul. Aus diesem Grund ist die Geschwindigkeit von Längs-oder Druckwellen (P-Wellen) bei Erdbeben in Granit signifikant höher als die Geschwindigkeit von Quer-oder Scherwellen (S-Wellen). Beide Arten von Erdbebenwellen reisen langsamer in weniger steifem Material, wie Sedimente. P-Wellen haben Geschwindigkeiten von 4 bis 7 km/s und S-Wellen erreichen eine Geschwindigkeit von 2 bis 5 km / s. Beide sind in steiferem Material schneller., Die P-Welle wird zunehmend weiter vor der S-Welle, wie sie durch die Erdkruste reisen. Die Zeit zwischen den P – und S-Wellen wird routinemäßig verwendet, um die Entfernung zu ihrer Quelle, dem Epizentrum des Erdbebens, zu bestimmen. Da S-Wellen den flüssigen Kern nicht passieren, werden zwei Schattenbereiche erzeugt ((Abbildung)).
Abbildung 17.11 Erdbeben erzeugen sowohl Längswellen (P-Wellen) als auch Querwellen (S-Wellen), und diese bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten., Beide Wellen bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in den verschiedenen Regionen der Erde, aber im Allgemeinen bewegen sich P-Wellen schneller als S-Wellen. S-Wellen können vom flüssigen Kern nicht unterstützt werden und erzeugen Schattenbereiche.
Wenn sich Schallwellen von einem Lautsprecher oder vom Epizentrum eines Erdbebens entfernen, nimmt ihre Leistung pro Flächeneinheit ab. Aus diesem Grund ist der Ton in der Nähe eines Lautsprechers sehr laut und wird weniger laut, wenn Sie sich vom Lautsprecher entfernen., Dies erklärt auch, warum es im Epizentrum eines Erdbebens zu extremen Schäden kommen kann, aber nur Zittern ist in Gebieten weit vom Epizentrum zu spüren. Die Leistung pro Flächeneinheit wird als Intensität bezeichnet, und im nächsten Abschnitt werden wir diskutieren, wie die Intensität von der Entfernung von der Quelle abhängt.