Was ist FEA / Finite-Elemente-Analyse?

Die Finite-Elemente-Analyse (FEA) ist die Simulation eines gegebenen physikalischen Phänomens mit der numerischen Technik Finite-Elemente-Methode (FEM) genannt. Ingenieure verwenden FEA-Software, um die Anzahl der physischen Prototypen und Experimente zu reduzieren und Komponenten in ihrer Entwurfsphase zu optimieren, um bessere Produkte schneller zu entwickeln und gleichzeitig Kosten zu sparen.,

Es ist notwendig, Mathematik zu verwenden, um physikalische Phänomene wie strukturelles oder flüssiges Verhalten, thermischen Transport, Wellenausbreitung, Wachstum biologischer Zellen usw. umfassend zu verstehen und zu quantifizieren. Die meisten dieser Prozesse werden unter Verwendung von partiellen Differentialgleichungen (PDEs) beschrieben. Für einen Computer zur Lösung dieser PDEs wurden jedoch in den letzten Jahrzehnten numerische Techniken entwickelt, und eine der herausragenden ist heute die Finite-Elemente-Analyse.,

Differentialgleichungen beschreiben nicht nur Naturphänomene, sondern auch physikalische Phänomene in der Ingenieurmechanik. Diese partiellen Differentialgleichungen (PDEs) sind komplizierte Gleichungen, die gelöst werden müssen, um relevante Größen einer Struktur zu berechnen (wie Spannungen (\(\epsilon\)), Stämme (\(\epsilon\)) usw.), um das strukturelle Verhalten unter einer gegebenen Last abzuschätzen. Es ist wichtig zu wissen, dass FEA nur eine ungefähre Lösung für das Problem liefert und ein numerischer Ansatz ist, um das tatsächliche Ergebnis dieser partiellen Differentialgleichungen zu erhalten., Vereinfacht gesagt ist FEA eine numerische Methode, die zur Vorhersage des Verhaltens eines Teils oder einer Baugruppe unter bestimmten Bedingungen verwendet wird. Es dient als Grundlage für moderne Simulationssoftware und hilft Ingenieuren, Schwachstellen, Spannungsbereiche usw. zu finden. in Ihren designs. Die Ergebnisse einer auf dem FEA-Verfahren basierenden Simulation werden üblicherweise über eine Farbskala dargestellt, die beispielsweise die Druckverteilung über das Objekt zeigt.

Je nach Perspektive kann man sagen, dass FEA bereits im 16., Die frühesten mathematischen Arbeiten zur Finite-Elemente-Analyse finden sich jedoch in den Werken von Schellbach und Courant .

FEA wurde unabhängig von Ingenieuren in verschiedenen Branchen entwickelt, um Strukturmechanikprobleme im Zusammenhang mit Luft-und Raumfahrt und Bauingenieurwesen anzugehen. Die Entwicklung für reale Anwendungen begann um die Mitte der 1950er Jahre als Papiere von Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris und Babuska & Aziz zeigen., Die Bücher von Zienkiewicz und Strang & Fix legte auch den Grundstein für zukünftige Entwicklungen in der FEA-software.

Divide and Conquer

Um Simulationen erstellen zu können, muss ein Netz erstellt werden, das aus bis zu Millionen kleiner Elemente besteht, die zusammen die Form der Struktur bilden., Berechnungen werden für jedes einzelne Element durchgeführt. Die Kombination der einzelnen Ergebnisse gibt uns das Endergebnis der Struktur. Die Approximationen, die wir gerade erwähnt haben, sind normalerweise Polynome und tatsächlich Interpolationen über die Elemente. Dies bedeutet, dass wir Werte an bestimmten Punkten innerhalb des Elements kennen, jedoch nicht an jedem Punkt. Diese „bestimmten Punkte“ werden als Knotenpunkte bezeichnet und befinden sich häufig an der Grenze des Elements. Die Genauigkeit, mit der sich die Variable ändert, wird durch eine gewisse Näherung für zB ausgedrückt. linear, quadratisch, kubisch usw., Um Näherungstechniken besser zu verstehen, betrachten wir einen eindimensionalen Balken. Betrachten Sie die wahre Temperaturverteilung T (x) entlang des Balkens im Bild unten:

Nehmen wir an, wir kennen die Temperatur dieses Balkens an 5 bestimmten Positionen (Zahlen 1-5 in der Abbildung)., Nun ist die Frage: Wie können wir die Temperatur zwischen diesen Punkten vorhersagen? Eine lineare Annäherung ist recht gut, aber es gibt bessere Möglichkeiten, die reale Temperaturverteilung darzustellen. Wenn wir eine quadratische Annäherung wählen, ist die Temperaturverteilung entlang der Leiste viel glatter. Dennoch sehen wir, dass unabhängig vom Polynomgrad die Verteilung über den Stab bekannt ist, sobald wir die Werte an den Knotenpunkten kennen. Wenn wir einen unendlichen Balken hätten, hätten wir eine unendliche Menge Unbekannter (FREIHEITSGRADE (DOF))., In diesem Fall haben wir jedoch ein Problem mit einer“ endlichen “ Anzahl von Unbekannten:

Ein System mit einer endlichen Anzahl von Unbekannten wird als diskretes System bezeichnet. Ein System mit einer unendlichen Anzahl von Unbekannten wird als kontinuierliches System bezeichnet.

Zum Zwecke der Approximationen können wir die folgende Beziehung für eine Feldgröße \(u(x)\) finden:

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

Die oben abgebildete Zeile zeigt dieses Prinzip für eine 1D Problem., \(u\) kann die Temperatur entlang der Länge eines Stabes darstellen, der ungleichmäßig erhitzt wird. In unserem Fall gibt es vier Elemente entlang der x-Achse, wobei die Funktion die lineare Annäherung der Temperatur definiert, die durch Punkte entlang der Linie dargestellt wird.

Einer der größten Vorteile, die wir bei der Finite-Elemente-Analyse haben, besteht darin, dass wir entweder die Diskretisierung pro Element variieren oder die entsprechenden Basisfunktionen diskretisieren können. De facto könnten wir kleinere Elemente in Regionen verwenden, in denen hohe Gradienten von \(u\) erwartet werden., Um die Steilheit der Funktion zu modellieren, müssen wir Annäherungen vornehmen.

Partielle Differentialgleichungen

Bevor Sie mit der FEA selbst fortfahren, ist es wichtig, die verschiedenen Arten von PDEs und ihre Eignung für FEA zu verstehen. Dies zu verstehen ist für jeden wichtig, unabhängig von der Motivation, Finite-Elemente-Analysen zu verwenden. Man sollte sich ständig daran erinnern, dass FEA-Software ein Werkzeug ist und jedes Werkzeug nur so gut ist wie sein Benutzer.,

PDE ‚ s können als elliptisch (sind ziemlich glatt), hyperbolisch (Unterstützungslösungen mit Diskontinuitäten) und parabolisch (beschreiben zeitabhängige Diffusionsprobleme) kategorisiert werden. Bei der Lösung dieser Differentialgleichungen müssen Grenz-und / oder Anfangsbedingungen angegeben werden. Basierend auf der Art der PDE können die erforderlichen Eingaben ausgewertet werden. Beispiele für PDE in jeder Kategorie sind Poisson-Gleichung (elliptisch), Wellengleichung (hyperbolisch) und Fourier-Gesetz (parabolisch).,

Es gibt im wesentlichen zwei Ansätze zur Lösung elliptischer PDE ‚ s – Finite-Differenz-Analyse (FDA) und Variationelle (oder Energie -) Methoden. FEA fällt in die zweite Kategorie von Variationsmethoden. Variationsansätze basieren in erster Linie auf der Philosophie der Energieminimierung.

Hyperbolische PDE sind häufig mit Sprüngen in Lösungen verbunden., Die Wellengleichung ist zum Beispiel eine hyperbolische PDE. Aufgrund des Vorhandenseins von Diskontinuitäten (oder Sprüngen) in Lösungen wurde angenommen, dass die ursprüngliche FEA-Technologie (oder Bubnov-Galerkin-Methode) für die Lösung hyperbolischer PDE ungeeignet ist. Im Laufe der Jahre wurden jedoch Modifikationen entwickelt, um die Anwendbarkeit von FEA-Software und-Technologie zu erweitern.

Es ist wichtig, die Konsequenz der Verwendung eines numerischen Rahmens zu berücksichtigen, der für den gewählten PDE-Typ ungeeignet ist. Eine solche Verwendung führt zu Lösungen, die als „unsachgemäß gestellt“bezeichnet werden., Dies könnte bedeuten, dass kleine Änderungen der Domänenparameter zu großen Schwingungen in den Lösungen führen oder die Lösungen nur auf einem bestimmten Teil der Domäne oder Zeit existieren. Diese sind nicht zuverlässig. Gut gestellte Lösungen werden mit einer eindeutigen definiert, die kontinuierlich für die definierten Daten existiert. In Anbetracht der Zuverlässigkeit ist es daher äußerst wichtig, sie zu erhalten.

Die schwache und starke Formulierung

Die mathematischen Modelle der Wärmeleitung und der Elastostatika, die in dieser Reihe behandelt werden, bestehen aus (Teil -) Differentialgleichungen mit Anfangs-sowie Randbedingungen., Dies wird auch als die sogenannte starke Form des Problems bezeichnet. Einige Beispiele für „starke Formen“ sind in der folgenden Abbildung dargestellt:

Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung erfordern einen hohen Grad an Glätte für die Lösung \(u(x)\). Das bedeutet, dass die zweite Ableitung der Verschiebung existieren muss und kontinuierlich sein muss! Dies impliziert auch Anforderungen an nicht beeinflussbare Parameter wie die Geometrie (scharfe Kanten) und die Materialparameter (unterschiedlicher Modul in einem Material).,

Um die Finite-Elemente-Formulierung zu entwickeln, müssen die partiellen Differentialgleichungen in einer integralen Form, der schwachen Form, neu gestellt werden. Die schwache form und die starke form sind gleichwertig! In der Stressanalyse wird die schwache Form das Prinzip der virtuellen Arbeit genannt.

$$\int^l_0\frac{dw}{dx}AE\frac{du}{dx}dx=(wA\überstrichen{t})_{x=0} + \int^l _0wbdx ~~~ \forall w~mit ~w(l)=0 \tag{3}$$

Der gegebenen Gleichung ist die sogenannte schwache form (in diesem Fall die schwache Formulierung für elastostatics)., Der Name besagt, dass Lösungen für die schwache Form nicht so glatt sein müssen wie Lösungen der starken Form, was schwächere Kontinuitätsanforderungen impliziert.

Sie müssen bedenken, dass die Lösung, die die schwache Form erfüllt, auch die Lösung des starken Gegenstücks der Gleichung ist. Denken Sie auch daran, dass die Testlösungen \(u(x)\) die Verschiebungsgrenzbedingungen erfüllen müssen. Dies ist eine wesentliche Eigenschaft der Versuchslösungen und deshalb nennen wir diese Randbedingungen wesentliche Randbedingungen.

Interessieren Sie diese Formulierungen?, Wenn ja, lesen Sie bitte mehr im Forenthema über die Äquivalenz zwischen der schwachen und der starken Formulierung von PDEs für FEA.

Minimale Potentialenergie

Die Finite-Elemente-Analyse kann auch mit dem Variationsprinzip durchgeführt werden. Bei eindimensionalen Elastostatika ist das Minimum an potentieller Energie für konservative Systeme belastbar. Die Gleichgewichtsposition ist stabil, wenn die potentielle Energie des Systems \(\Pi\) minimal ist. Jede infinitesimale Störung der stabilen Position führt zu einem energetisch ungünstigen Zustand und impliziert eine Wiederherstellungsreaktion., Ein einfaches Beispiel ist eine normale Glasflasche, die auf dem Boden steht, wo sie minimale potentielle Energie hat. Wenn es umfällt, wird nichts passieren, außer einem lauten Geräusch. Wenn es auf der Ecke eines Tisches steht und zu Boden fällt, ist es eher wahrscheinlich, dass es bricht, da es mehr Energie in Richtung Boden trägt. Für das Variationsprinzip nutzen wir diese Tatsache. Je niedriger das Energieniveau ist, desto unwahrscheinlicher ist es, die falsche Lösung zu finden., Die gesamte potenzielle Energie \(\Pi\) eines Systems besteht aus der Arbeit der inneren Kräfte (strain energy)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon A(x)} dx \tag{4}$$

und die Arbeit der externen Kräfte

$$A_a = A(x)\überstrichen{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t} \tag{5}$$

Die Gesamtenergie ist:

$$\Pi = A_i – A_a \tag{6}$$

erfahren Sie mehr über die minimale potentielle Energie in unserem zugehörigen forum Thema.,

Netzkonvergenz

Eines der am meisten übersehenen Probleme in der Rechenmechanik, die sich auf die Genauigkeit auswirken, ist die Netzkonvergenz. Dies hängt damit zusammen, wie klein die Elemente sein müssen, um sicherzustellen, dass die Ergebnisse einer Analyse nicht durch Ändern der Maschengröße beeinflusst werden.

Die obige Abbildung zeigt die Konvergenz einer Größe mit einer Erhöhung der Freiheitsgrade. Wie in der Abbildung dargestellt, ist es wichtig, zuerst die Menge des Interesses zu identifizieren. Es müssen mindestens drei Punkte berücksichtigt werden, und wenn die Maschendichte zunimmt, beginnt die interessierende Menge zu einem bestimmten Wert zu konvergieren. Wenn zwei nachfolgende Netzverfeinerungen das Ergebnis nicht wesentlich verändern, kann man davon ausgehen, dass das Ergebnis konvergiert ist.,

In der Frage der Netzveredelung ist es nicht immer notwendig, dass das Netz im gesamten Modell verfeinert wird. Das St. Venant-Prinzip erzwingt, dass die lokalen Spannungen in einer Region die Spannungen an anderer Stelle nicht beeinflussen. Daher kann das Modell aus physikalischer Sicht nur in bestimmten interessierenden Regionen verfeinert werden und weiterhin eine Übergangszone von grobem zu feinem Netz aufweisen., Es gibt zwei Arten von Verfeinerungen (h – und p-Verfeinerung), wie in der Abbildung oben gezeigt. h-Verfeinerung bezieht sich auf die Verringerung der Elementgrößen, während p-Verfeinerung sich auf die Erhöhung der Ordnung des Elements bezieht.

Hier ist es wichtig, zwischen geometrischem Effekt und Netzkonvergenz zu unterscheiden, insbesondere wenn das Vernetzen einer gekrümmten Oberfläche mit geraden (oder linearen) Elementen mehr Elemente (oder Netzverfeinerungen) erfordert, um die Grenze genau zu erfassen., Die Netzveredelung führt zu einer signifikanten Reduzierung der Fehler:

Eine solche Verfeinerung kann eine Erhöhung der Konvergenz von Lösungen ermöglichen, ohne die Größe des Gesamtproblems zu erhöhen.

Wie misst man die Konvergenz?,

Nun, da die Bedeutung der Konvergenz diskutiert wurde, wie kann die Konvergenz gemessen werden? Was ist ein quantitatives Maß für die Konvergenz? Der erste Weg wäre, mit analytischen Lösungen oder experimentellen Ergebnissen zu vergleichen.

Fehler der Verschiebungen:

$$e_u = u – u^h \tag{7}$$

wobei \(u\) die analytische Lösung für das Verschiebungsfeld ist.

Fehler der Stämme:

$$e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^h \tag{8}$$

ein, wobei \(\epsilon\) ist die analytische Lösung für das Spannungsfeld.,

Fehler der Spannungen:

$$e_\sigma = \sigma – \sigma^h \tag{9}$$

wobei \(\sigma\) die analytische Lösung für das Spannungsfeld ist.

Wie in den obigen Gleichungen gezeigt, können mehrere Fehler für Verschiebungen, Spannungen und Spannungen definiert werden. Diese Fehler könnten zum Vergleich verwendet werden und müssten mit der Netzveredelung reduziert werden. Erfahren Sie hier mehr darüber, wie diese Fehler mit den jeweiligen Normen für diese Größen berechnet werden.,

Finite Elemente Analyse Software

Die Finite-Elemente-Analyse begann mit erheblichen Versprechungen bei der Modellierung mehrerer mechanischer Anwendungen im Zusammenhang mit Luft-und Raumfahrt und Bauingenieurwesen. Die Anwendungen der Finite-Elemente-Methode beginnen gerade erst, ihr Potenzial zu erreichen., Eine der aufregendsten Perspektiven ist die Anwendung auf gekoppelte Probleme wie Fluid-Struktur-Wechselwirkung; thermomechanische, thermo-chemische, thermo-chemo-mechanische Probleme piezoelektrische, ferroelektrische, elektromagnetische und andere relevante Bereiche:

Statisch

Mit statischer Analyse können Sie lineare statische und nichtlineare quasi-statische Strukturen analysieren. In einem linearen Fall mit einer angelegten statischen Belastung wird nur ein einziger Schritt benötigt, um die strukturelle Reaktion zu bestimmen. Geometrische, kontakt – und materielle Nichtlinearität können berücksichtigt werden. Ein Beispiel ist ein Lagerpolster einer Brücke.,

Dynamisch

Mit der dynamischen Analyse können Sie die dynamische Reaktion einer Struktur analysieren, die über einen bestimmten Zeitraum dynamische Belastungen erfahren hat. Um die strukturellen Probleme realistisch zu modellieren, können Sie auch die Auswirkungen von Lasten sowie Verschiebungen analysieren. Ein Beispiel ist der Aufprall eines menschlichen Schädels mit oder ohne Helm.

Modal

Eigenfrequenzen und Eigenmoden einer Struktur durch Vibration können mittels Modalanalyse simuliert werden. Die Spitzenreaktion einer Struktur oder eines Systems unter einer gegebenen Last kann mit harmonischer Analyse simuliert werden., Ein Beispiel ist der start eines Motors.

Verschiedene Arten der Finite-Elemente-Methode

Wie bereits im Abschnitt über PDEs diskutiert, hat die traditionelle FEM-Technologie Mängel bei der Modellierung von Problemen im Zusammenhang mit Strömungsmechanik, Wellenausbreitung usw. gezeigt. In den letzten zwei Jahrzehnten wurden mehrere Verbesserungen vorgenommen, um den Lösungsprozess zu verbessern und die Anwendbarkeit der Finite-Elemente-Analyse auf eine Vielzahl von Problemen zu erweitern., Einige der wichtigsten noch verwendeten sind:

Erweiterte Finite-Elemente-Methode (XFEM)

Die Bubnov-Galerkin-Methode erfordert Kontinuität der Verschiebungen über Elemente hinweg. Probleme wie Kontakt, Bruch und Beschädigung beinhalten jedoch Diskontinuitäten und Sprünge, die nicht direkt mit Finite-Elemente-Methoden behandelt werden können. Um dieses Manko zu überwinden, wurde XFEM in den 1990er Jahren geboren.XFEM arbeitet durch die Erweiterung der Shape-Funktionen mit Heaviside Step-Funktionen., Den Knoten um den Punkt der Diskontinuität werden zusätzliche Freiheitsgrade zugewiesen, so dass die Sprünge berücksichtigt werden können.

Generalized Finite Element Method (GFEM)

GFEM wurde ungefähr zur gleichen Zeit wie XFEM in den 90er Jahren eingeführt. Formfunktionen werden in erster Linie in den globalen Koordinaten definiert und weiter mit Partition-of-Unity multipliziert, um lokale Elementformfunktionen zu erstellen. Einer der Vorteile von GFEM ist die Verhinderung einer erneuten Vernetzung um Singularitäten.,

Gemischte Finite-Elemente-Methode

Bei mehreren Problemen, wie Kontakt oder Inkompressibilität, werden Einschränkungen mit Lagrange-Multiplikatoren auferlegt. Diese zusätzlichen Freiheitsgrade, die sich aus Lagrange-Multiplikatoren ergeben, werden unabhängig voneinander gelöst. Die Gleichungen werden wie ein gekoppeltes System gelöst.

hp-Finite-Elemente-Methode

hp-FEM ist eine Kombination aus automatischer Netzveredelung (h-Verfeinerung) und Erhöhung der Polynomreihenfolge (p-Verfeinerung). Dies ist nicht dasselbe wie h – und p – Verfeinerungen separat., Wenn eine automatische hp-Verfeinerung verwendet wird und ein Element in kleinere Elemente unterteilt ist (h-Verfeinerung), kann jedes Element auch unterschiedliche Polynomordnungen haben.

Diskontinuierliche Galerkin-Finite-Element-Methode (DG-FEM)

DG-FEM hat gezeigt, signifikante Versprechen für die Nutzung der Idee der Finiten Elemente zur Lösung hyperbolischer Gleichungen, wo die traditionelle Finite-Element-Methoden wurden schwach. Darüber hinaus hat es sich auch bei Biegeproblemen und inkompressiblen Problemen bewährt, die bei den meisten Materialprozessen häufig beobachtet werden., Hier werden der schwachen Form zusätzliche Einschränkungen hinzugefügt, die einen bestimmten Parameter (um eine Durchdringung zu verhindern) und Begriffe für ein anderes Spannungsgleichgewicht zwischen den Elementen enthalten.

Finite-Elemente-Analyse & SimScale

Die FEA-Softwarekomponente von SimScale ermöglicht es Ihnen, das Verhalten von Strukturen virtuell zu testen und vorherzusagen und damit komplexe Konstruktionsprobleme zu lösen, die statischen und dynamischen Belastungsbedingungen ausgesetzt sind., Die FEA-Simulationsplattform verwendet skalierbare numerische Methoden, mit denen mathematische Ausdrücke berechnet werden können, die aufgrund komplexer Belastungen, Geometrien oder Materialeigenschaften sonst sehr schwierig wären.

Letzte Aktualisierung: 20. Januar 2021