základní aritmetické operace jsou sčítání, odčítání, násobení a dělení, i když toto téma také obsahuje více pokročilé operace, jako je manipulace, procenta, odmocnina, umocňování, logaritmické funkce, a dokonce i goniometrické funkce, ve stejném duchu jako logaritmy (prosthaphaeresis). Aritmetické výrazy musí být vyhodnoceny podle zamýšlené sekvence operací., Existuje několik metod, jak určit, buď—nejčastější, spolu s infix notace—jednoznačně pomocí závorek a spoléhat se na přednost pravidla, nebo pomocí prefix nebo postfix notace, která jednoznačně stanovit pořadí provádění sami. Každý soubor objektů, na které všechny čtyři aritmetické operace (s výjimkou dělení nulou) může být provedena, a tam, kde tyto čtyři operace dodržovat obvyklé předpisy (včetně distributivity), se nazývá pole.,
AdditionEdit
Přidání konečně mnoho čísel může být viděn jako opakované jednoduché sčítání; tento postup je známý jako shrnutí, termín se také používá k označení definice pro „přidání nekonečně mnoho čísel“ v nekonečné sérii. Opakované přidání čísla 1 je nejzákladnější formou počítání; výsledek přidání 1 se obvykle nazývá nástupcem původního čísla.přidání
je komutativní a asociativní, takže pořadí, ve kterém jsou přidány konečné termíny, nezáleží.,
číslo 0 má vlastnost, že při přidání k libovolnému číslu poskytuje stejné číslo; takže je to prvek identity sčítání nebo aditivní identita.přidání
lze také interpretovat geometricky, jako v následujícím příkladu.Pokud máme dvě tyčinky délky 2 a 5, pak, pokud jsou tyčinky zarovnány jeden po druhém, délka kombinované tyče se stává 7, protože 2 + 5 = 7.,
SubtractionEdit
Odčítání, který se označuje symbolem − {\displaystyle -} , je inverzní operace ke sčítání. Odčítání najde rozdíl mezi dvěma čísly, minuend minus subtrahend: D = M − S. by se Uchylovat k dříve stanovené toho, to je co říct, že rozdíl je číslo, které, když přidal se k subtrahend, výsledky v minuend: D + S = M.,
Pro kladné argumenty, M a S, platí:
Pokud minuend je větší než subtrahend, rozdíl D je pozitivní. Pokud je minuend menší než subtrahend, rozdíl D je negativní.
v každém případě, pokud jsou minuend a subtrahend stejné, rozdíl D = 0.
odčítání není komutativní ani asociativní., Z toho důvodu výstavby této inverzní operace v moderní algebry je často zlikvidovat ve prospěch zavedení pojmu inverzní prvky (jako narýsované podle § Sčítání), kde odčítání je považován za přidání doplňkové látky inverzní subtrahend na minuend, to znamená, že a − b = a + (−b)., Bezprostřední cena vyřazení binární operace odčítání je zavedení (triviální) unární operace, přináší inverzní doplňkové látky pro jakékoliv dané číslo, a ztrácí okamžitý přístup k pojmu rozdíl, který je potenciálně zavádějící, když negativní argumenty jsou zapojeny.
pro jakékoli znázornění čísel existují metody pro výpočet výsledků,z nichž některé jsou zvláště výhodné při využívání postupů, existujících pro jednu operaci, malými změnami i pro jiné., Například, digitální počítače můžete znovu použít existující přidání-obvody a ušetřit další obvody pro realizaci odčítání, tím, že zaměstná metoda dvou doplněk pro zastupování aditivní inverze, která je velmi snadno implementovat v hardwaru (negace). Kompromis je poloviční rozsah čísel pro pevnou délku slova.
dříve široce rozšířená metoda pro dosažení správné částky změny, která zná splatné a dané částky, je metoda počítání, která explicitně nevytváří hodnotu rozdílu., Předpokládejme, že množství P je náchylný k tomu, aby zaplatit požadovanou částku, Q, s P je větší než Q, Spíše než výslovně provedením odčítání P − Q = C a počítá, že množství C v změnit, peníze, počítá se počínaje nástupce Q, a pokračovat v krocích měně, než P je dosaženo. Přestože se počítaná částka musí rovnat výsledku odčítání P-Q, odčítání nebylo nikdy provedeno a hodnota P-Q není touto metodou dodána.,
MultiplicationEdit
Násobení, označené symboly × {\displaystyle \times } nebo ⋅ {\displaystyle \cdot } , je druhá základní operace aritmetiky. Násobení také kombinuje dvě čísla do jednoho čísla, produktu. Dvě původní čísla se nazývají multiplikátor a multiplikand, většinou oba jsou jednoduše nazývány faktory.násobení
lze považovat za operaci škálování., Pokud jsou čísla si představoval, jak leží v linii, násobení číslem větším než 1, řekněme x, je stejná jako strečink všechno, od 0 jednotně, a to takovým způsobem, že číslo 1 je sám o sobě natažené, kde x bylo. Podobně, násobení číslem menším než 1 lze představit jako stlačení směrem k 0, tak, že 1 jde do multiplikandu.
Jiný pohled na násobení celých čísel (rozšiřitelná na rationals, ale ne moc přístupné pro reálná čísla), je tím, s ohledem na to jako opakované sčítání. Příklad., 3 × 4 odpovídá buď přidání 3 krát a 4, nebo 4 krát a 3, což dává stejný výsledek. Existují různé názory na výhodnost těchto paradigmata v matematickém vzdělávání.
násobení je komutativní a asociativní; dále je distribuční přes sčítání a odčítání. Multiplikativní identita je 1, protože vynásobením libovolného čísla 1 se získá stejné číslo. Multiplikativní inverzní pro libovolné číslo kromě 0 je reciproční tohoto čísla, protože vynásobením reciproční libovolného čísla samotným číslem se získá multiplikativní identita 1., 0 je jediné číslo bez multiplikačního inverzního čísla a výsledek vynásobení libovolného čísla a 0 je opět 0. Jeden říká, že 0 není obsažen v multiplikativní skupině čísel.
výrobek a a b se zapisuje jako a × b, nebo a·b. Když a a b jsou výrazy nenapsal jednoduše s číslicemi, je také napsána jednoduchá juxtapozice: ab. V počítačových programovacích jazycích a softwarových balíčcích (ve kterých lze používat pouze znaky běžně nalezené na klávesnici) je často psáno hvězdičkou: a * b.,
algoritmy implementující operaci násobení pro různé reprezentace čísel jsou mnohem nákladnější a pracnější než algoritmy pro sčítání. Ty jsou přístupné pro ruční výpočty, a to buď spoléhat na lámání dolů faktorů na jednom místě hodnoty a uplatňují opakované sčítání, nebo na zaměstnávání tabulky nebo posunutí pravidla, čímž se mapování násobení na sčítání a vice versa. Tyto metody jsou zastaralé a postupně jsou nahrazeny mobilními zařízeními., Počítače využívají různé sofistikované a vysoce optimalizované algoritmy k implementaci násobení a dělení pro různé formáty čísel podporované v jejich systému.
DivisionEdit
Divize, označené symboly ÷ {\displaystyle \div } nebo / {\displaystyle /} , je v podstatě inverzní operace k násobení. Divize najde kvocient dvou čísel, dividendu dělenou dělitelem. Jakákoli dividenda dělená nulou je nedefinovaná., U odlišných kladných čísel, pokud je dividenda větší než dělitel, je kvocient větší než 1, jinak je menší než 1 (podobné pravidlo platí pro záporná čísla). Kvocient vynásobený dělitelem vždy přináší dividendu.
dělení není komutativní ani asociativní. Jak je vysvětleno v § odčítání, konstrukce dělení v moderní algebře je vyřazena ve prospěch konstrukce inverzních prvků s ohledem na násobení, jak je uvedeno v § násobení., Proto dělení je násobení dividendy s reciproční dělitel jako faktory, které je, a ÷ b = a × 1/b.
v Rámci přirozených čísel, tam je také různé, ale související pojem nazývá Euklidovský divize, který vypíše dvě čísla po „rozdělení“ přirozené N (čitatel), tím, že přírodní D (jmenovatel): první přírodní Q (kvocient), a druhý přirozený R (zbytek) taková, že N = D×Q + R a 0 ≤ R < Q