Hvad Er Conic Sektioner?
koniske sektioner opnås ved skæringspunktet mellem overfladen af en kegle med et plan og har visse funktioner.,
læringsmål
Beskrive dele af en konisk del, og hvordan keglesnit afsnit kan opfattes som tværsnit af en dobbelt-kegle
Key Takeaways
hovedpunkter
- Et keglesnit afsnit (eller blot keglesnit) er en kurve, der er opnået som skæringspunktet på overfladen af en kegle med et fly; de tre typer er parabler, ellipser, og hyperbolas.
- et konisk afsnit kan tegnes på et koordinatplan.
- hvert konisk afsnit har visse funktioner, herunder mindst et fokus og directri.., Parabler har et fokus og directri., mens ellipser og hyperboler har to af hver.
- en conic sektion er det sæt af punkter P hvis
Afstand til fokus er en konstant multipel af afstanden fra P til directri.af conic.
nøgleord
- verte.: et ekstremt punkt på en konisk sektion.
- asymptote: en lige linje, som en kurve nærmer sig vilkårligt tæt, når den går til uendelig.
- locus: sæt af alle punkter, hvis koordinater opfylder en given ligning eller betingelse.,
- fokus: et punkt, der bruges til at konstruere og definere en konisk sektion, hvor stråler reflekteret fra kurven konvergerer (flertal: foci).
- nappe: halvdelen af en dobbelt kegle.
- konisk sektion: enhver kurve dannet af skæringspunktet mellem et plan med en kegle af to bleer.
- directri.: en linje, der bruges til at konstruere og definere en konisk sektion; en parabola har en directri.; ellipser og hyperboler har to (flertal: directrices).,
definition af koniske sektioner
en konisk sektion (eller blot konisk) er en kurve opnået som skæringspunktet mellem overfladen af en kegle med et plan. De tre typer af koniske sektioner er hyperbel, parabola, og ellipsen. Cirklen er type ellipse, og er undertiden anses for at være en fjerde type konisk sektion.
koniske sektioner kan genereres ved at krydse et plan med en kegle. En kegle har to identisk formede dele kaldet nappes. En nappe er, hvad de fleste mennesker mener med “kegle,” og har form af en fest hat.,
koniske sektioner genereres ved skæringspunktet mellem et plan med en kegle. Hvis planet er parallelt med omdrejningsaksen (y-aksen), er den koniske sektion en hyperbola. Hvis flyet er parallelt med genereringslinjen, er konisk sektionen en parabola. Hvis planet er vinkelret på omdrejningsaksen, er den koniske sektion en cirkel. Hvis planet skærer en nappe i en vinkel til aksen (bortset fra 90^{\circ}), er konisk sektion en ellipse.,
En kegle, og keglesnit sektioner: nappes og de fire conic sektioner. Hver konisk bestemmes af den vinkel, som planet laver med keglens akse.
almindelige dele af koniske sektioner
mens hver type koniske sektion ser meget anderledes ud, har de nogle funktioner til fælles. For eksempel har hver type mindst et fokus og directri..
et fokus er et punkt, som den koniske sektion er konstrueret til. Det er med andre ord et punkt om, hvilke stråler reflekteret fra kurven konvergerer., En parabola har et fokus, som formen er konstrueret til; en ellipse og hyperbola har to.en directri.er en linje, der bruges til at konstruere og definere en konisk sektion. Afstanden af en directri.fra et punkt på conic afsnit har et konstant forhold til afstanden fra dette punkt til fokus. Som med fokus har en parabola en directri., mens ellipser og hyperboler har to.
disse egenskaber, som de koniske sektioner deler, præsenteres ofte som følgende definition, som vil blive udviklet yderligere i det følgende afsnit., En conic sektion er locus af punkter P hvis Afstand til fokus er en konstant multipel af afstanden fra P til directri.af conic. Disse afstande vises som orange linjer for hver konisk sektion i det følgende diagram.
dele af koniske sektioner: de tre koniske sektioner med foci og directrices mærket.
hver type konisk sektion er beskrevet mere detaljeret nedenfor.,
Parabel
En parabel er mængden af alle punkter, hvis afstand fra et fast punkt, der hedder fokus, er lig med den afstand fra en fast linje, kaldet directrix. Punktet halvvejs mellem fokus og directri.kaldes toppunktet af parabolen.
i den næste figur tegnes fire parabler, når de vises på koordinatplanet. De kan åbne op, ned, til venstre eller til højre.
fire parabler, der åbner i forskellige retninger: toppunktet ligger midtpunktet mellem directri.og fokus.,
ellipser
en ellipse er sæt af alle punkter, for hvilke summen af afstande fra to faste punkter (foci) er konstant. I tilfælde af en ellipse er der to foci og to direktører.
i den næste figur tegnes en typisk ellipse, som den vises på koordinatplanet.
Ellipse: summen af afstande fra ethvert punkt på ellipsen til foci er konstant.,
Hyperbolas
En hyperbel er mængden af alle punkter, hvor forskellen mellem deres afstande fra to faste punkter (poler) er konstant. I tilfælde af en hyperbola er der to foci og to directrices. Hyperbolas har også to asymptoter.
en graf af en typisk hyperbola vises i næste figur.
Hyperbola: forskellen mellem afstande fra ethvert punkt på ellipsen til foci er konstant. Den tværgående akse kaldes også hovedaksen, og den konjugerede akse kaldes også den mindre akse.,
anvendelser af koniske sektioner
koniske sektioner bruges i mange studieretninger, især til at beskrive former. For eksempel bruges de i astronomi til at beskrive formerne af kredsløbene af objekter i rummet. To massive genstande i rummet, der interagerer i henhold til ne .tons lov om universel gravitation, kan bevæge sig i baner, der er i form af koniske sektioner. De kunne følge ellipser, parabler, eller hyperbolas, afhængigt af deres egenskaber.
e .centricitet
hver konisk sektion har en konstant e .centricitet, der giver information om dens form.,
læringsmål
Diskutere, hvordan excentricitet af en konisk afsnit beskriver sin adfærd
Key Takeaways
hovedpunkter
- Excentricitet er en parameter, der er forbundet med hvert keglesnit afsnit, og kan opfattes
som et mål for, hvor meget keglesnit afsnit afviger fra at være cirkulær. - ecentcentriciteten af en konisk sektion er defineret som afstanden fra ethvert punkt på konisk sektion til dens fokus, divideret med den vinkelrette afstand fra dette punkt til nærmeste directri..,
- værdien af e kan bruges til at bestemme typen af konisk sektion. Hvis e= 1 det er en parabel, hvis e < 1 det er en ellipse, og hvis e > 1 det er en hyperbel.
nøgleord
- ecentcentricitet: en parameter i et konisk afsnit, der beskriver, hvor meget konisk sektionen afviger fra at være cirkulær.
definition af E .centricitet
e .centriciteten, betegnet e, er en parameter, der er forbundet med hvert konisk afsnit. Det kan betragtes som et mål for, hvor meget konisk afsnit afviger fra at være cirkulære.,
e .centriciteten af en konisk sektion er defineret som afstanden fra ethvert punkt på konisk sektion til dens fokus, divideret med den vinkelrette afstand fra dette punkt til nærmeste directri.. Værdien af e er konstant for enhver konisk sektion. Denne egenskab kan bruges som en generel definition for koniske sektioner., Værdien af e kan også bruges til at bestemme typen af konisk sektion:
- hvis e = 1, konikken er en parabola
- hvis e < 1, Det er en ellipse
- hvis e > 1, Det er en hyperbola
en cirkels e .centricitet er nul. Bemærk, at to koniske sektioner er ens (identisk formet), hvis og kun hvis de har samme e .centricitet.Husk, at hyperboler og ikke-cirkulære ellipser har to foci og to tilknyttede directrices, mens parabler har et fokus og en directri.., I den næste figur er hver type konisk sektion tegnet med fokus og directri.. De orange linjer angiver afstanden mellem fokus og punkter på konisk sektionen samt afstanden mellem de samme punkter og directri.. Dette er de afstande, der bruges til at finde e .centriciteten.
Conic sektioner og deres dele: Excentricitet er forholdet mellem afstanden fra ethvert punkt på konisk del af sit fokus, og den vinkelrette afstand fra dette punkt til den nærmeste directrix.,
Opfatte Excentricitet
Fra den definition af en parabel, afstanden fra ethvert punkt på parablen, at fokus er lig med afstanden fra det samme punkt til directrix. Definition skal E .centriciteten af en parabola være 1.
for en ellipse er e .centriciteten mindre end 1. Dette betyder, at tælleren i det forhold, der definerer e .centricitet, er mindre end nævneren. Med andre ord, afstanden mellem et punkt på en konisk sektion og dens fokus er mindre end afstanden mellem dette punkt og den nærmeste directri..,
omvendt er e hypercentriciteten af en hyperbola større end 1. Dette indikerer, at afstanden mellem et punkt på en konisk sektion den nærmeste directri.er mindre end afstanden mellem dette punkt og fokus.
typer af koniske sektioner
koniske sektioner dannes ved skæringspunktet mellem et plan med en kegle, og deres egenskaber afhænger af, hvordan dette kryds forekommer.,
læringsmål
Diskutere de egenskaber af forskellige typer af keglesnit afsnit
Key Takeaways
hovedpunkter
- Keglesnit afsnit er en bestemt type form, der dannes ved skæringspunktet mellem et fly og en ret cirkulær kegle. Afhængig af vinklen mellem planet og keglen kan der dannes fire forskellige skæringsformer.de typer af koniske sektioner er cirkler, ellipser, hyperbolas og paraboler.
- hvert konisk afsnit har også en degenereret form; disse har form af punkter og linjer.,
nøgleord
- degenereret: et konisk afsnit, der ikke passer til standardformen for ligning.
- asymptote: en linje, som en buet funktion eller form nærmer sig, men aldrig berører.
- hyperbola: den koniske sektion dannet af Planet er vinkelret på bunden af keglen.
- fokus: et punkt væk fra en buet linje, omkring hvilken kurven bøjer.
- cirkel: den koniske sektion dannet af Planet er parallel med bunden af keglen.
- ellipse: den koniske sektion dannet af Planet er i en vinkel til bunden af keglen.,
- e eccentricitet: en dimensionsløs parameter, der karakteriserer formen af en konisk sektion.
- Parabola: den koniske sektion dannet af Planet er parallel med keglen.
- Verte.: vendepunktet for en buet form.
koniske sektioner er en bestemt type form dannet ved skæringspunktet mellem et plan og en højre cirkulær kegle. Afhængig af vinklen mellem planet og keglen kan der dannes fire forskellige skæringsformer. Hver form har også en degenereret form., Der er en egenskab ved alle keglesnit sektioner kaldet excentricitet, der tager form af en numerisk parameter e. De fire keglesnit afsnit figurer, som hver har forskellige værdier af e.
Typer af conic sektioner: Denne figur viser, hvordan keglesnit afsnit, i lys blå, er resultatet af et fly, der krydser en kegle. Billede 1 viser en parabola, billede 2 viser en cirkel (nederst) og en ellipse (øverst), og billede 3 viser en hyperbel.,
Parabola
en parabola dannes, når planet er parallelt med keglens overflade, hvilket resulterer i en U-formet kurve, der ligger på Planet. Hver parabel har visse funktioner:
- En vertex, som er det punkt, hvor kurven viser rundt
- Et fokus, som er et punkt ikke er på den kurve, som kurven bøjer
- En akse af symmetri, der er en linje, der forbinder en vinkelspids og den fokus, der deler parabel i to lige store halvdele
Alle parabler har en excentricitet værdien e=1., Som et direkte resultat af at have den samme e .centricitet er alle parabler ens, hvilket betyder, at enhver parabel kan omdannes til enhver anden med en ændring af position og skalering. Degenereret tilfælde af en parabola er, når flyet bare knap rører den udvendige overflade af keglen, hvilket betyder, at det er tangent til keglen. Dette skaber en lige linje skæringspunktet ud af keglen diagonal.
ikke-degenererede parabler kan repræsenteres med kvadratiske funktioner såsom
f (.) = ^ ^ 2
cirkel
en cirkel dannes, når planet er parallelt med keglens bund., Dens skæringspunkt med keglen er derfor et sæt punkter, der er lige langt fra et fælles punkt (keglens centrale akse), som opfylder definitionen af en cirkel. Alle cirkler har visse funktioner:
- et midtpunkt
- en radius, som afstanden fra ethvert punkt på cirklen til midtpunktet
alle cirkler har en e .centricitet e=0. Således er alle cirkler ligesom parabolen ens og kan omdannes til hinanden., På et koordinatplan er den generelle form for cirkelens ligning
((- h)^2 + (y-K)^2 = r^2
hvor (h,k) er koordinaterne for cirklens centrum, og r er radius.
den degenererede form af cirklen opstår, når planet kun skærer selve keglens spids. Dette er et enkelt punkt kryds, eller tilsvarende en cirkel med nul radius.
Conic sektioner tegnet af excentricitet: Denne graf viser en ellipse i rød, med et eksempel excentricitet værdi af 0.,5, en parabel i grønt med den krævede e .centricitet på 1, og en hyperbola i blåt med en eksempel-E .centricitet på 2. Det viser også et af de degenererede hyperbola-tilfælde, den lige sorte linje, svarende til uendelig e .centricitet. Cirklen er på indersiden af parabolen, som er på indersiden af den ene side af hyperbolaen, som har den vandrette linje under den. På denne måde kan stigende e .centricitet identificeres med en slags udfoldning eller åbning af konisk sektion.,
Ellipse
når planets vinkel i forhold til keglen er mellem keglens udvendige overflade og keglens bund, er det resulterende skæringspunkt en ellipse. Definitionen af en ellipse inkluderer også at være parallel med keglens bund, så alle cirkler er et specielt tilfælde af ellipsen., Historisk har disse funktioner:
- En hovedakse, som er den længste bredde på tværs af ellipse
- En sideakse, som er den korteste bredde på tværs af ellipse
- Et center, som er skæringspunktet mellem de to akser
- To knudepunkter —for ethvert punkt på ellipsen, summen af afstande til både focal point er et konstant
Ellipser kan have en række excentricitet værdier: 0 \leq e < 1. Bemærk, at værdien 0 er inkluderet (en cirkel), men værdien 1 er ikke inkluderet (det ville være en parabola)., Da der er en række e .centricitetsværdier, er ikke alle ellipser ens. Den generelle form for ligningen af en ellipse med storakse parallelt med axis-aksen er:
\displaystyle{ \frac {(.-H)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
den degenererede form af en ellipse er et punkt eller cirkel med nul radius, ligesom det var for cirklen.
Hyperbola
en hyperbola dannes, når planet er parallelt med keglens centrale akse, hvilket betyder, at det skærer begge dele af dobbeltkeglen.,nches, samt disse funktioner:
- Asymptote linjer—disse er de to lineære grafer, at kurven for den hyperbel nærmer sig, men aldrig rører
- Et center, som er skæringspunktet mellem den asymptoter
- To centrale punkter, omkring hvilken hver af de to grene bøje
- To toppunkter, en for hver afdeling
Den generelle ligning for en hyperbel med toppunkter på en vandret linje er:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
excentricitet af en hyperbel er begrænset til e > 1, og har ingen øvre grænse., Hvis e .centriciteten får lov til at gå til grænsen på +\infty (positiv uendelighed), bliver hyperbolaen en af dens degenererede tilfælde—en lige linje. Den anden degenererede sag for en hyperbola er at blive dens to lineære asymptoter. Dette sker, når flyet skærer toppen af dobbeltkeglen.