Hvad er FEA / Finite Element Analysis?

Finite Element Analysis (Fea) er simuleringen af et givet fysisk fænomen ved hjælp af den numeriske teknik kaldet Finite Element Method (FEM). Ingeniører bruger FEA-soft .are til at reducere antallet af fysiske prototyper og eksperimenter og optimere komponenter i deres designfase for at udvikle bedre produkter, hurtigere og samtidig spare på udgifter.,

det er nødvendigt at bruge matematik til omfattende at forstå og kvantificere eventuelle fysiske fænomener som strukturel eller væskeadfærd, termisk transport, bølgeudbredelse, vækst af biologiske celler osv. De fleste af disse processer er beskrevet ved hjælp af partielle differentialligninger (PDE ‘ er). Men for en computer til at løse disse PDEs, numeriske teknikker er blevet udviklet over de sidste par årtier, og en af de fremtrædende dem, i dag, er det Finite Element Analyse.,

differentialligninger beskriver ikke kun naturfænomener, men også fysiske fænomener, der opstår i ingeniørmekanik. Disse partielle differential ligninger (PDEs) er komplicerede ligninger, der skal løses for at beregne relevante mængder af en struktur (som understreger, (\(\epsilon\)), stammer (\(\epsilon\)), osv.) for at estimere den strukturelle adfærd under en given belastning. Det er vigtigt at vide, at FEA kun giver en omtrentlig løsning på problemet og er en numerisk tilgang til at få det reelle resultat af disse partielle differentialligninger., Forenklet, FEA er en numerisk metode, der bruges til forudsigelse af, hvordan en del eller samling opfører sig under givne betingelser. Det bruges som grundlag for moderne simuleringssoft .are og hjælper ingeniører med at finde svage pletter, spændingsområder osv. i deres design. Resultaterne af en simulering-baseret på FEA-metoden er normalt afbildet via en farveskala, der for eksempel viser trykfordelingen over objektet.

afhængigt af ens perspektiv kan FEA siges at have sin oprindelse i Eulers arbejde allerede i det 16.århundrede., Men de tidligste matematiske papirer om Finite Element analyse kan findes i værker af Schellbach og Courant .

FEA blev uafhængigt udviklet af ingeniører i forskellige brancher for at løse strukturelle mekanikproblemer relateret til rumfart og civilingeniør. Udviklingen til virkelige applikationer startede omkring midten af 1950 ‘ erne som papirer af Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris og Babuska & a .i.Sho.., Bøgerne af andienkie .ic.og Strang & Fi. lagde også grundlaget for den fremtidige udvikling inden for FEA-soft .are.

Opdel og erobre

for at kunne lave simuleringer skal der oprettes et maske, der består af op til millioner af små elementer, der tilsammen danner strukturens form., Beregninger foretages for hvert enkelt element. Kombination af de enkelte resultater giver os det endelige resultat af strukturen. De tilnærmelser, vi lige har nævnt, er normalt polynomium og faktisk interpolationer over elementet(erne). Dette betyder, at vi kender værdier på bestemte punkter inden for elementet, men ikke på alle punkter. Disse ‘visse punkter’ kaldes knudepunkter og er ofte placeret ved elementets grænse. Den nøjagtighed, hvormed de variable ændringer udtrykkes ved en vis tilnærmelse til f.eks. lineær, kvadratisk, kubisk osv., For at få en bedre forståelse af tilnærmelsesteknikker vil vi se på en endimensionel bar. Overvej den sande temperaturfordeling T ()) langs stangen på billedet nedenfor:

lad os antage, at vi kender temperaturen på denne bjælke ved 5 specifikke positioner (tal 1-5 på illustrationen)., Nu er spørgsmålet: Hvordan kan vi forudsige temperaturen mellem disse punkter? En lineær tilnærmelse er ganske god, men der er bedre muligheder for at repræsentere den reelle temperaturfordeling. Hvis vi vælger en firkantet tilnærmelse, er temperaturfordelingen langs baren meget mere glat. Ikke desto mindre ser vi, at uanset polynomigraden er fordelingen over stangen kendt, når vi kender værdierne på knudepunkterne. Hvis vi ville have en uendelig bar, ville vi have en uendelig mængde ukendte (frihedsgrader (DOF))., Men i dette tilfælde har vi et problem med et “begrænset” antal ukendte:

et system med et begrænset antal ukendte kaldes et diskret system. Et system med et uendeligt antal ukendte kaldes et kontinuerligt system.

Til formål tilnærmelser kan vi finde følgende forhold for et felt mængde \(u(x)\):

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

Den linje, illustreret øverst viser dette princip for en 1D problemet., \(u\) kan repræsentere temperaturen langs længden af en stang, der opvarmes på en ikke-ensartet måde. I vores tilfælde er der fire elementer langs axis-aksen, hvor funktionen definerer den lineære tilnærmelse af temperaturen illustreret med prikker langs linjen.

en af de største fordele, vi har, når vi bruger Finite Element-analysen, er, at vi enten kan variere diskretiseringen pr. De facto kunne vi bruge mindre elementer i regioner, hvor der forventes høje gradienter på \(u\)., Med henblik på at modellere stejlheden af den funktion, vi har brug for at gøre tilnærmelser.

partielle differentialligninger

før du fortsætter med selve FEA, er det vigtigt at forstå de forskellige typer PDE ‘ er og deres egnethed til fea. Forståelse dette er vigtigt for alle, uanset ens motivation til at bruge finite element analyse. Man skal konstant minde sig selv om, at FEA soft .are er et værktøj, og ethvert værktøj er kun så godt som dets bruger.,PDE ‘ er kan kategoriseres som elliptiske (er ret glatte), hyperbolske (supportløsninger med diskontinuiteter) og paraboliske (beskriv tidsafhængige diffusionsproblemer). Ved løsning af disse differentialligninger grænse og / eller indledende betingelser skal tilvejebringes. Baseret på typen af PDE kan de nødvendige input evalueres. Eksempler på PDE ‘ s i hver kategori omfatter Poisson ligning (elliptisk), bølge ligning (hyperbolsk) og Fourier lov (Parabolic).,

Der er to hovedmetoder til løsning af elliptisk PDE ‘ s – finite forskel analyse (FDA) og variational (eller energi) metoder. FEA falder ind under den anden kategori af variationsmetoder. Variationelle tilgange er primært baseret på filosofien om minimering af energi.

hyperbolske PDE ‘ er er ofte forbundet med spring i løsninger., Bølgeligningen er for eksempel en hyperbolsk PDE. På grund af eksistensen af diskontinuiteter (eller springer) i løsninger, den oprindelige FEA teknologi (eller Bubnov-Galerkin metode) blev menes at være uegnet til at løse hyperbolsk PDE ‘ s. Men I årenes løb, modifikationer er blevet udviklet for at udvide anvendeligheden af FEA soft .are og teknologi.

det er vigtigt at overveje konsekvensen af at bruge en numerisk ramme, der er uegnet til den type PDE, der vælges. En sådan anvendelse fører til løsninger, der er kendt som “forkert stillet”., Dette kan betyde, at små ændringer i domæneparametrene fører til store svingninger i løsningerne, eller løsningerne findes kun på en bestemt del af domænet eller tiden. Disse er ikke pålidelige. Godt stillede løsninger er defineret med en unik, der eksisterer kontinuerligt for de definerede data. I betragtning af pålidelighed er det derfor ekstremt vigtigt at få dem.

den svage og stærke formulering

de matematiske modeller af varmeledning og elastostatik, der er omfattet af denne serie, består af (partielle) differentialligninger med såvel indledende som grænsebetingelser., Dette kaldes også den såkaldte stærke form for problemet. Et par eksempler på “stærke former” er givet i illustrationen nedenfor:

anden orden partielle differentialligninger kræver en høj grad af glathed for løsningen \(u (\)\). Det betyder, at det andet derivat af forskydningen skal eksistere og skal være kontinuerligt! Dette indebærer også krav til parametre, der ikke kan påvirkes som geometrien (skarpe kanter) og materialeparametrene (forskellige moduler i et materiale).,

for at udvikle den endelige elementformulering skal de partielle differentialligninger gentages i en integreret form kaldet den svage form. Den svage form og den stærke form er ens! I stressanalyse kaldes den svage form princippet om virtuelt arbejde.

$$\int^l_0\frac{d.} {d.} AE\frac{du}{d.} d.=(\a\overline{t})_{0=0} + \int^l _0 .bd. ~ ~ ~ \forall~~med ~ ((l)=0 \tag{3}$$

den givne ligning er den såkaldte svage form (i dette tilfælde den svage formulering til elastostatik)., Navnet siger, at løsninger på den svage form ikke behøver at være så glatte som løsninger af den stærke form, hvilket indebærer svagere kontinuitetskrav.

Du skal huske på, at løsningen, der opfylder den svage form, også er løsningen af ligningens stærke modstykke. Husk også, at forsøgsløsningerne \(u (\)\) skal opfylde forskydningsgrænsebetingelserne. Dette er en væsentlig egenskab af forsøgsløsningerne, og det er derfor, vi kalder disse grænsebetingelser væsentlige grænsebetingelser.

interesserer disse formuleringer dig?, Hvis ja, læs venligst mere i forumemnet om ækvivalensen mellem den svage og stærke formulering af PDE ‘ er til FEA.

Minimum potentiel energi

den endelige elementanalyse kan også udføres med Variationsprincippet. I tilfælde af endimensionel elastostatik er minimum af potentiel energi elastisk for konservative systemer. Ligevægtspositionen er stabil, hvis systemets potentielle energi \(\Pi\) er minimal. Hver uendelig forstyrrelse af den stabile position fører til en energisk ugunstig tilstand og indebærer en genoprettende reaktion., Et let eksempel er en normal glasflaske, der står på jorden, hvor den har minimal potentiel energi. Hvis det falder over, vil der ikke ske noget, bortset fra en høj lyd. Hvis det står på hjørnet af et bord og falder over til jorden, er det snarere sandsynligt, at det går i stykker, da det bærer mere energi mod jorden. For variationsprincippet gør vi brug af denne kendsgerning. Jo lavere energiniveauet er, desto mindre sandsynligt er det at få den forkerte løsning., Den samlede potentielle energi \(\Pi\) af et system, der består af det arbejde, de indre kræfter (stamme energi)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon A(x)} dx \tag{4}$$

og det arbejde den eksterne kræfter

$$A_a = A(x)\overlinier{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t} \tag{5}$$

Den samlede energi er:

$$\Pi = A_i – A_a \tag{6}$$

Finde mere om den mindste potentielle energi i vores relaterede forum emne.,

Mesh konvergens

et af de mest oversete problemer i beregningsmekanik, der påvirker nøjagtigheden, er mesh konvergens. Dette hænger sammen med, hvor små elementerne skal være for at sikre, at resultaterne af en analyse ikke påvirkes af at ændre maskestørrelsen.

figuren ovenfor viser konvergensen af en mængde med en stigning i frihedsgraderne. Som afbildet i figuren er det vigtigt først at identificere mængden af interesse. Mindst tre punkter skal overvejes, og når masketætheden stiger, begynder mængden af interesse at konvergere til en bestemt værdi. Hvis to efterfølgende maskeforfininger ikke ændrer resultatet væsentligt, kan man antage, at resultatet er konvergeret.,

når man går ind på spørgsmålet om maskeforfining, er det ikke altid nødvendigt, at masken i hele modellen er raffineret. St. Venants princip håndhæver, at de lokale belastninger i en region ikke påvirker stressene andre steder. Fra et fysisk synspunkt kan Modellen derfor kun raffineres i bestemte områder af interesse og yderligere have en overgangs zoneone fra groft til fint mesh., Der er to typer af raffinementer (h – og p-raffinement) som vist i figuren ovenfor. h-forfining vedrører reduktionen i elementstørrelserne, mens p-forfining vedrører forøgelse af elementets rækkefølge.

Her er det vigtigt at skelne mellem geometrisk effekt og maskekonvergens, især når meshing en buet overflade ved hjælp af lige (eller lineære) elementer vil kræve flere elementer (eller maskeforfining) for at fange grænsen nøjagtigt., Mesh raffinement fører til en betydelig reduktion i fejl:

forfining som denne kan muliggøre en stigning i konvergensen af løsninger uden at øge størrelsen af det samlede problem, der løses.

hvordan måles konvergens?,

så nu hvor betydningen af konvergens er blevet diskuteret, hvordan kan konvergens måles? Hvad er en kvantitativ foranstaltning for konvergens? Den første måde ville være at sammenligne med analytiske løsninger eller eksperimentelle resultater.

fejl i forskydningerne:

$$e_u = u – u^h \tag{7}$$

hvor \(u\) er den analytiske løsning for forskydningsfeltet.

fejl af stammerne:

$$e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^h \tag{8}$$

hvor \(\epsilon\) er den analytiske løsning for stammefeltet.,

fejl i spændingerne:

$$e_\sigma = \Sigma – \Sigma^h \tag{9}$$

hvor \(\sigma\) er den analytiske løsning for stressfeltet.

som vist i ligningerne ovenfor kan flere fejl defineres for forskydninger, stammer og spændinger. Disse fejl kan bruges til sammenligning, og de bliver nødt til at reducere med maskeforfining. Lær mere om, hvordan disse fejl beregnes med de respektive normer for disse mængder her.,

Finite Element Analysis Soft .are

den endelige elementanalyse startede med et betydeligt løfte i modellering af flere mekaniske applikationer relateret til rumfart og civilingeniør. Anvendelserne af Finite Element Method er lige begyndt at nå deres potentiale., En af de mest spændende udsigter, er dens anvendelse til sammen problemer som fluid-strukturinteraktion; termo-mekaniske, termo-kemiske, thermo-kemo-mekaniske problemer, piezoelektriske, ferroelectric, elektromagnetisme og andre relevante områder:

Statisk

Med statisk analyse, kan du analysere lineær statisk og lineær kvasi-statiske strukturer. I et lineært tilfælde med en påført statisk belastning er det kun nødvendigt med et enkelt trin for at bestemme det strukturelle respons. Geometrisk, kontakt og materiale ikke-lineær kan tages i betragtning. Et eksempel er en bærende pude af en bro.,

dynamisk

dynamisk analyse hjælper dig med at analysere den dynamiske respons af en struktur, der oplevede dynamiske belastninger over en bestemt tidsramme. For at modellere strukturproblemerne på en realistisk måde kan du også analysere belastningernes påvirkning såvel som forskydninger. Et eksempel er virkningen af en menneskelig kraniet, med eller uden hjelm.

Modal

Egenfrekvenser og egenmodier af en struktur på grund af vibrationer kan simuleres ved hjælp af modal analyse. Spidsresponsen for en struktur eller et system under en given belastning kan simuleres med harmonisk analyse., Et eksempel er starten på en motor.

forskellige typer Finite Element Method

Som diskuteret tidligere i afsnittet om PDE ‘ er har traditionel FEM-teknologi vist mangler i modelleringsproblemer relateret til væskemekanik, bølgeudbredelse osv. Der er foretaget flere forbedringer i løbet af de sidste to årtier for at forbedre løsningsprocessen og udvide anvendeligheden af finite element-analyse til en bred genre af problemer., Nogle af de vigtige, der stadig bruges, inkluderer:

e .tended Finite Element Method (.fem)

Bubnov-Galerkin-metoden kræver kontinuitet i forskydninger på tværs af elementer. Problemer som kontakt, brud og skader involverer imidlertid diskontinuiteter og spring, der ikke direkte kan håndteres af endelige Elementmetoder. For at overvinde denne mangel blev .fem født i 1990 ‘ erne. .fem arbejder gennem udvidelsen af formfunktionerne med Heaviside step-funktioner., Ekstra frihedsgrader tildeles knuderne omkring diskontinuitetspunktet, så hoppene kan overvejes.

generaliseret Finite Element Method (GFEM)

GFEM blev introduceret omkring samme tid som 90sfem i 90 ‘erne. det kombinerer funktionerne i traditionel FEM soft .are og meshless metoder. Formfunktioner defineres primært i de globale koordinater og multipliceres yderligere med partition-of-unity for at skabe lokale elementære formfunktioner. En af fordelene ved GFEM er forebyggelsen af re-meshing omkring singulariteter.,

mi .ed Finite Element Method

i flere problemer, som kontakt eller inkompressibilitet, pålægges begrænsninger ved hjælp af Lagrange-multiplikatorer. Disse ekstra frihedsgrader som følge af Lagrange-multiplikatorer løses uafhængigt. Ligningerne løses som et koblet system.

hp-Finite Element Method

hp-FEM er en kombination af at bruge automatisk maskeforfining (h-forfining) og stigning i rækkefølgen af polynom (p-forfining). Dette er ikke det samme som at gøre h – og p – forbedringer separat., Når der anvendes automatisk hp-raffinement, og et element er opdelt i mindre elementer (h-raffinement), kan hvert element også have forskellige polynomiske ordrer.

diskontinuerlig Galerkin Finite Element Method (DG-FEM)

DG-FEM har vist et betydeligt løfte om at bruge ideen om endelige elementer til løsning af hyperbolske ligninger, hvor traditionelle Finite Element-metoder har været svage. Desuden har det også vist løfte i bøjning og incompressible problemer, som er almindeligt observeret i de fleste materielle processer., Her tilføjes yderligere begrænsninger til den svage form, der omfatter en straffeparameter (for at forhindre interpenetration) og vilkår for anden ligevægt af spændinger mellem elementerne.

Finite Element Analysis & SimScale

FEA-soft .arekomponenten i SimScale giver dig mulighed for praktisk talt at teste og forudsige strukturernes opførsel og dermed løse komplekse konstruktionstekniske problemer, der udsættes for statiske og dynamiske belastningsforhold., FEA-simuleringsplatformen bruger skalerbare numeriske metoder, der kan beregne matematiske udtryk, der ellers ville være meget udfordrende på grund af kompleks belastning, geometrier eller materialeegenskaber.

sidst opdateret: 20. januar 2021