i matematik er det firkantede symbol (2) en aritmetisk operatør, der betyder at multiplicere et tal af sig selv. Den” firkantede ” af et tal er produktet af nummeret og sig selv. At multiplicere et tal med sig selv kaldes” kvadrering ” af nummeret. Kvadrering af et tal er et mere specifikt eksempel på den generelle eksponentieringsoperation, eksponentiering, når eksponenten er 2. Kvadrering af et tal er det samme som at hæve dette tal til kraften i to. Den firkantede funktion (=(=) =22) er den inverse af kvadratrodfunktionen (. (.)=..).,
at hæve et tal n til kraften i 2 kaldes “kvadrering”, fordi det resulterende tal n2 svarer til arealet af en firkant med sider af længde n. firkantfunktionen er en yderst nyttig funktion i algebra, trigonometri og fysik. I algebra danner firkantfunktionen rygraden i nogle enkleste slags polynomier (quaduadratics). I trigonometri bruges den firkantede funktion til at finde de tilsvarende vinkler og sidelængder af kongruente trekanter, et nyttigt koncept til modellering af periodiske fænomener., I fysik kan firkantfunktionen bruges til at beregne afstande mellem to punkter (i form af Pythagoras sætning), og modellerede fænomener tager ofte den matematiske form af en firkantet funktion, især ligninger, der involverer hastighed og acceleration.
kvadrering: det grundlæggende
kvadrering af et tal er simpelt: bare multiplicer tallet med sig selv: symbolet 32 betyder bare 3.3., Generelt for et hvilket som helst nummer n:
n2 = N Further n
yderligere har firkantfunktionen den interessante egenskab, at indsætning af additivet omvendt af n giver dig det samme nummer: det vil sige:
n2 = (−n)2
strengt taget er hvert positivt tal kvadratet på nøjagtigt det samme nummer.to tal, et positivt og et negativt tal. 4 er kvadratet på både 2 og -2. Et tal, der er kvadratet af et heltal kaldes en perfekt firkant., Generelt, jo længere ned talelinjen man går, jo længere og mere spredt ud fordelingen af perfekter kvadrater. Denne tendens er, fordi de firkantede funktion vokser eksponentielt; dvs. dens vækstrate er proportional med dens nuværende værdi.
den inverse af den firkantede funktion er kvadratrodfunktionen = (()==.. kvadratroden af et tal n er en sådan, at a2 = n.fordi både et tal og dets additive inverse firkant for at få det samme resultat, har hvert positivt reelt tal nøjagtigt 2 rødder +and and Og −and and, undertiden udtrykt som…., I de fleste sammenhænge henviser “kvadratroden” af et tal kun til dets positive rod. Den særlige definition af kvadratrodsfunktionen gør det således, at intet negativt reelt tal har en kvadratrod, da intet tal ganget med sig selv vil producere et negativt tal. Negative tal har firkantede rødder i det komplekse talesystem, men ikke i det reelle talsystem.
en graf af funktionen22 ligner:
bemærk, hvordan grafen spejles perfekt langs den lodrette y-akse., Grafens form svarer til det faktum, at hvert positivt reelt tal er kvadratet på både et positivt og negativt tal (undtagen nul). Som sådan er det muligt, at en funktion i den generelle form af den firkantede funktion ikke har nogen rødder—der er ingen n sådan, at. (n) = 0. Visuelt betyder det, at nogle firkantede funktioner aldrig vil krydse.-aksen.
anvendelse af firkantet funktion
Algebra
firkantet funktion danner rygraden i en særlig klasse af polynomielle ligninger kaldet kvadratiske ligninger., Et kvadratisk polynom i grad 2: det vil sige ethvert polynom i form:
a .2 + b. + c
hvor A, b og c er alle reelle tal og A 0 0. udtrykkene a, b og c kaldes kvadratisk, lineær og konstant koefficient, henholdsvis. Kvadratiske ligninger kan indregnes for at finde deres rødder-værdier af., for hvilke hele ligningen er lig med 0., Alternativt kan man bruge den kvadratiske ligning til at løse for rødderne af et kvadratisk polynom:
kvadratisk ligning er nyttige til modellering af bevægelse, da kurven for accelereret bevægelse har form af en firkantet kurve. Hvis nogle bevægelser har en konstant accelerationshastighed, vil en graf af dens bevægelse være en kvadratisk ligning. Den geometriske form af den kvadratiske funktion kaldes en parabola.
geometri
den firkantede funktion har mange anvendelser i geometri. Det er klart, at firkantet funktion kan bruges til at finde arealet af kvadrater., Det er et almindeligt kendt faktum, at arealet af en firkant med sider af længde n er lig med n2. Dette følger af ligningen for arealet af et rektangel (og parallelogrammer mere generelt), hvor A = l×w. Et kvadrat er simpelthen et rektangel, hvor længden og bredden er den samme. Det faktum, at arealet af et kvadrat er et kvadrat funktion forklarer en egenskab om væksten af firkantet område: arealet firkantet, hvis længde er n gange længere har N2 mere areal.
kvadrering bruges også til at finde afstande mellem to punkter i forbindelse med Pythagoras sætning. Pythagoras sætning fortæller, at kvadratet på siderne af en højre trekant (en trekant med en 90 angle Vinkel) er lig med kvadratet på hypotenusen (a2+b2=c2). Denne formel kan bruges til at beregne afstanden mellem oprindelsespunktet for en koordinatakse (0, 0) og ethvert vilkårligt punkt (,, y). Man kan tegne en linje, der strækker sig fra oprindelsespunktet Horizont-enheder vandret, derefter en linje, der strækker sig fra dette punkt y-enheder lodret., Den tegnede form vil være en ret trekant, og afstanden mellem oprindelsen (0, 0) og punktet (,, y) kan beregnes som hypotenusen af en ret trekant med sidelængder. og y.
Pythagoras sætning er et specielt tilfælde af den mere generelle parallelogramlov, der relaterer længden af siderne af et parallelogram til dets diagonaler: parallelogramloven angiver, at summen af kvadratet af længderne af længderne af de fire sider er lig med summen af kvadratet af diagonalerne. Lad os sige, at vi har et parallelogram med siderne AB, BC, CD og DA og diagonaler AC og BD., Parallelogramloven fortæller os, at:
AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2
da i et parallelogram er modsatte sider per definition lige i længder, kan denne ligning bare omskrives som:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
Pythagoras sætning falder ud af denne ligning i tilfælde af et rektangel, hvor diagonalerne er lige længder.
Trigonometri
kvadrering dukker også op i love, der vedrører længderne af siderne af en trekant til dens vinkler i form af cosinus-loven., Kort sagt siger cosinus-loven, at for en trekant med længder A, b og c og modsatte vinkler a, b og C:
c2= a2 + b2 – 2ab.cos(C)
cosinus-loven kan omskrives til at løse for hver variabel, der giver en ligning med nøjagtig samme form, så den samme ligning fungerer for enhver side. Cosinus-loven giver dig mulighed for at bestemme de andre komponenter i en trekant, hvis du kender længden på mindst to sider og en vinkel. Ligningen forenkler også at give Pythagoras sætning i tilfælde af højre trekanter. I tilfælde af højre trekanter, C C = 90, så cos (C) = 0., Den yderste højre del af ligningen annulleres, og vi står tilbage med c2= a2 + b2
i fysik
i fysik stikker firkantfunktionen ofte hovedet i sammenhæng med ligninger beskriv intensiteten af en fysisk mængde som en funktion af afstand. På grund af rummets 3-D geometri er intensiteten af enhver fysisk mængde, der udstråler udad i en kugle omkring kilden, omvendt proportional med kvadratet af afstanden fra kilden., Denne kendsgerning følger af den geometriske lov, at overfladearealet af en kugle (4nr2) er direkte proportional med kuglens radius kvadreret (r2).for eksempel er tyngdekraften en omvendt firkantet kraft, da styrken af gravitationsattraktionen mellem to legemer er direkte proportional med massen af disse legemer og omvendt proportional med kvadratet af afstanden mellem disse legemer., Dette er tydeligt i den matematiske form af Newton ‘ s tyngdelov
Fg= G(m1×m2)/d2
hvor m1 og m2 er massen af organer og d er afstanden mellem deres centre of gravity. I øvrigt har kraften af elektrostatisk tiltrækning mellem to legemer også form af en omvendt firkantet lov såvel som den målte intensitet af lys målt fra en punktkilde.
den firkantede notation bruges også til at definere måleenheder i fysik. For eksempel måles acceleration, hastigheden af hastighedsændring, i enheden m / s2., Dette kan læses ” meter per sekund per sekund.”Hvis hastighed er ændringen i afstand med hensyn til tid, er acceleration ændringen i hastighed med hensyn til tid. Acceleration er et mål for, hvor meget hastighed der ændrer sig ved hvert bevægelsespunkt. Hvis min acceleration er 6 m/s2, betyder det, at min hastighed (m / s) stiger med 6 for hvert sekund af bevægelse, dermed meter pr.