las operaciones aritméticas básicas son suma, resta, multiplicación y división, aunque este tema también incluye operaciones más avanzadas, como manipulaciones de porcentajes, raíces cuadradas, exponenciación, funciones logarítmicas e incluso funciones trigonométricas, en la misma línea que los logaritmos (prostaféresis). Las expresiones aritméticas deben evaluarse de acuerdo con la secuencia de operaciones prevista., Hay varios métodos para especificar esto, ya sea—el más común, junto con la notación infijo—explícitamente usando paréntesis y confiando en reglas de precedencia, o utilizando una notación prefijo o postfijo, que fija de forma única el orden de ejecución por sí mismos. Cualquier conjunto de objetos sobre los que se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas (excepto la división por cero), y donde estas cuatro operaciones obedecen las leyes habituales (incluida la distributividad), se denomina campo.,
Adicióneditar
agregar un número finito puede verse como adición simple repetida; este procedimiento se conoce como suma, un término también utilizado para denotar la definición de «agregar infinitamente muchos números» en una serie infinita. La adición repetida del número 1 es la forma más básica de contar; el resultado de agregar 1 generalmente se llama el sucesor del número original.
la suma es conmutativa y asociativa, por lo que el orden en el que se agregan muchos términos finitos no importa.,
el número 0 tiene la propiedad de que, cuando se agrega a cualquier número, produce ese mismo número; por lo tanto, es el elemento de identidad de la adición, o la identidad aditiva.
la suma también se puede interpretar geométricamente, como en el siguiente ejemplo.Si tenemos dos palos de longitudes 2 y 5, entonces, si los palos están alineados uno tras otro, la longitud del palo combinado se convierte en 7, ya que 2 + 5 = 7.,
resta
la resta, denotada por el símbolo − {\displaystyle -} , es la operación inversa a la suma. La resta encuentra la diferencia entre dos números, el minuendo menos el sustraendo: D = M − S. recurriendo a la suma previamente establecida, es decir que la diferencia es el número que, cuando se agrega al sustraendo, resulta en el minuendo: D + S = M.,
para argumentos positivos m y s sostiene:
si el minuendo es mayor que el sustraendo, la diferencia D es positiva. Si el minuendo es menor que el sustraendo, la diferencia D es negativa.
en cualquier caso, si minuendo y sustraendo son iguales, la diferencia D = 0.
la Resta no es ni conmutativa ni asociativa., Por esa razón, la construcción de esta operación inversa en álgebra moderna a menudo se descarta a favor de introducir el concepto de elementos inversos (como se esboza en § suma), donde la resta se considera como la adición de la inversa aditiva del sustraendo al minuendo, es decir, a − b = A + (−b)., El precio inmediato de descartar la operación binaria de resta es la introducción de la operación unaria (trivial), entregando la inversa aditiva para cualquier número dado, y perdiendo el acceso inmediato a la noción de diferencia, que es potencialmente engañosa cuando hay argumentos negativos involucrados.
para cualquier representación de números, hay métodos para calcular los resultados, algunos de los cuales son particularmente ventajosos en la explotación de procedimientos, existentes para una operación, por pequeñas alteraciones también para otras., Por ejemplo, las computadoras digitales pueden reutilizar circuitos de adición existentes y guardar circuitos adicionales para implementar una resta, empleando el método del complemento de dos para representar los inversos aditivos, que es extremadamente fácil de implementar en hardware (negación). La compensación es la reducción a la mitad del rango de números para una longitud de palabra fija.
un método anteriormente amplio para lograr una cantidad de cambio correcta, conociendo las cantidades debidas y dadas, es el método de conteo, que no genera explícitamente el valor de la diferencia., Supongamos que se da una cantidad P para pagar la cantidad requerida Q, Con P mayor que Q. en lugar de realizar explícitamente la resta P-Q = C y contar esa cantidad C En el cambio, el dinero se cuenta comenzando con el sucesor de Q, y continuando en los pasos de la moneda, hasta que se alcanza P. Aunque la cantidad contada debe ser igual al resultado de la resta P-Q, la resta nunca se hizo realmente y el valor de P − Q no se suministra por este método.,
Multiplicacióneditar
La multiplicación, denotada por los símbolos × {\displaystyle \ times} o ⋅ {\displaystyle \ cdot }, es la segunda operación básica de la aritmética. La multiplicación también combina dos números en un solo número, el producto. Los dos números originales se llaman el Multiplicador y el multiplicand, en su mayoría ambos se llaman simplemente factores.
La multiplicación puede verse como una operación de escalado., Si los números se imaginan como tumbados en una línea, la multiplicación por un número mayor que 1, digamos x, es lo mismo que estirar todo lejos de 0 uniformemente, de tal manera que el número 1 se estira hasta donde estaba x. Del mismo modo, multiplicar por un número menor que 1 se puede imaginar como apretar hacia 0, de tal manera que 1 va al multiplicando.
otra vista sobre la multiplicación de números enteros (extensible a los racionales pero no muy accesible para los números reales) es considerarla como suma repetida. Por ejemplo., 3 × 4 corresponde a sumar 3 veces un 4, o 4 veces un 3, dando el mismo resultado. Hay diferentes opiniones sobre la ventaja de estos paradigmas en la educación matemática.
La multiplicación es conmutativa y asociativa; además, es distributiva sobre suma y resta. La identidad multiplicativa es 1, ya que multiplicar cualquier número por 1 produce ese mismo número. El inverso multiplicativo para cualquier número excepto 0 es el recíproco de este número, porque multiplicando el recíproco de cualquier número por el número mismo da la identidad multiplicativa 1., 0 es el único número sin un inverso multiplicativo, y el resultado de multiplicar cualquier número y 0 es de nuevo 0. Uno dice que 0 no está contenido en el grupo multiplicativo de los números.
el producto de A y b se escribe como a × b o a * b. Cuando a O b son expresiones no escritas simplemente con dígitos, también se escribe por simple yuxtaposición: ab. En lenguajes de programación y paquetes de software (en los que solo se pueden usar caracteres que normalmente se encuentran en un teclado), a menudo se escribe con un asterisco: a * b.,
Los algoritmos que implementan la operación de multiplicación para varias representaciones de números son mucho más costosos y laboriosos que los de suma. Aquellos accesibles para el cálculo manual se basan en descomponer los factores a valores de posición únicos y aplicar la adición repetida, o en el empleo de tablas o reglas de cálculo, mapeando la multiplicación a la adición y viceversa. Estos métodos están obsoletos y son reemplazados gradualmente por dispositivos móviles., Las computadoras utilizan diversos algoritmos sofisticados y altamente optimizados, para implementar la multiplicación y división de los diversos formatos de números soportados en su sistema.
DivisiónEditar
La División, denotada por los símbolos ÷ {\displaystyle \div } o / {\displaystyle/}, es esencialmente la operación inversa a la multiplicación. División encuentra el cociente de dos números, el dividendo dividido por el divisor. Cualquier dividendo dividido por cero es indefinido., Para números positivos distintos, si el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor que 1, de lo contrario es menor que 1 (una regla similar se aplica para números negativos). El cociente multiplicado por el divisor siempre produce el dividendo.
La División no es ni conmutativa ni asociativa. Así como se explica en § resta, la construcción de la división en álgebra moderna se descarta en favor de la construcción de los elementos inversos con respecto a la multiplicación, como se introduce en § multiplicación., Por lo tanto, la división es la multiplicación del dividendo con el recíproco del divisor como factores, es decir, a ÷ b = a × 1/b.
dentro de los números naturales, también hay una noción diferente pero relacionada llamada División euclidiana, que produce dos números después de «dividir» un N natural (numerador) por un d natural (denominador): primero un Q natural (cociente), y segundo un R natural (resto) tal que N = D×Q + R y 0 ≤ r < Q.