Az alapvető aritmetikai műveletek összeadás, kivonás, szorzás, osztás, bár ez a téma is tartalmaz haladó műveletek, például a manipulációk, a százalékokat, négyzet gyökerek, exponentiation, logaritmikus függvények, sőt trigonometrikus függvények, hasonlóképpen, mint a logaritmus (prosthaphaeresis). Az aritmetikai kifejezéseket a tervezett műveletsor szerint kell értékelni., Számos módszer létezik ennek meghatározására, vagy—a leggyakoribb, az infix jelöléssel együtt-kifejezetten zárójelek használatával, elsőbbségi szabályokra támaszkodva, vagy egy előtag vagy postfix jelölés használatával, amely egyedileg rögzíti a végrehajtás sorrendjét. Minden olyan objektumkészletet, amelyen mind a négy aritmetikai művelet elvégezhető (kivéve a nulla osztást), és ahol ez a négy művelet megfelel a szokásos törvényeknek (beleértve az eloszlást is), mezőnek nevezzük.,
AdditionEdit
hozzáadása végtelenül sok szám lehet tekinteni, mint ismételt egyszerű összeadás; ezt az eljárást nevezik összegzés, a kifejezés is használják, hogy jelöljék a meghatározás “hozzátéve végtelenül sok szám” egy végtelen sorozatban. Az 1. szám ismételt hozzáadása a számlálás legalapvetőbb formája; az 1 hozzáadásának eredményét általában az eredeti szám utódjának nevezik.
Az összeadás kommutatív és asszociatív, így az a sorrend, amelyben végül sok kifejezést adunk hozzá, nem számít.,
a 0-as számnak az a tulajdonsága, hogy bármely számhoz hozzáadva ugyanazt a számot adja; tehát ez az összeadás azonossági eleme vagy az additív identitás.
Az összeadás geometriailag is értelmezhető, mint a következő példában.Ha két 2 és 5 hosszúságú botunk van, akkor ha a botok egymás után igazodnak, akkor a kombinált bot hossza 7 lesz, mivel 2 + 5 = 7.,
Kivonásszerkesztés
kivonás, amelyet a − {\displaystyle -} szimbólum jelöl,az összeadás inverz művelete. A kivonás megtalálja a különbséget két szám között, a minuend mínusz a subtrahend: D = M-S. A korábban létrehozott kiegészítés igénybevételével ez azt jelenti, hogy a különbség az a szám, amely a szubtrahendhez hozzáadva a minuendet eredményezi: D + S = M.,
az M és S pozitív érvek esetében:
Ha a minuend nagyobb, mint a subtrahend, a D különbség pozitív. Ha a minuend kisebb, mint a subtrahend, a különbség d negatív.
mindenesetre, ha a minuend és a subtrahend egyenlő, akkor a különbség D = 0.
a kivonás sem kommutatív, sem asszociatív., Ezért ennek az inverz műveletnek a felépítését a modern algebrában gyakran eldobják az inverz elemek fogalmának bevezetése mellett( a § kiegészítés alatt vázolva), ahol a kivonást úgy tekintik, mint a kivonás additív inverzének hozzáadását a minuendhez, azaz a − b = A + (−b)., Az azonnali ár öntsük a bináris művelet kivonás a bevezetése a (triviális) egyoperandusú művelet, a szállítás a additív inverz, az adott számot, majd elveszíti az azonnali hozzáférést a fogalom a különbség, ami potenciálisan megtévesztő, amikor a negatív érvek vannak benne.
a számok bármilyen ábrázolására léteznek módszerek Az eredmények kiszámítására, amelyek közül néhány különösen előnyös az egy művelethez létező eljárások kiaknázásában, kisebb változtatásokkal mások számára is., Például a digitális számítógépek újra meglévő hozzáadása-áramkör megmenteni kiegészítő áramkörök végrehajtási kivonás, alkalmazásával a módszer a kettő kiegészíti a képviselő-adalékanyag inverses, amely rendkívül könnyen megvalósítható a hardver (tagadás). A kompromisszum a rögzített szóhossz számtartományának felére csökkentése.
egy korábban széles körben elterjedt módszer a helyes változási összeg elérésére, az esedékesség és a megadott összegek ismeretében, a számlálási módszer, amely kifejezetten nem generálja a különbség értékét., Tegyük fel, hogy egy P összeget adunk annak érdekében, hogy kifizesse a szükséges összeget Q, A P nagyobb, mint Q. ahelyett, hogy kifejezetten elvégzi a kivonás P − Q = C és számítva ki ezt az összeget C változás, pénz számít ki kezdve utódja Q, és továbbra is a lépéseket a valuta, amíg p eléréséig. Bár a kiszámított összegnek meg kell egyeznie a P − Q kivonás eredményével, a kivonás soha nem történt meg igazán, és a P − Q értékét nem ez a módszer biztosítja.,
MultiplicationEdit
szorzás, amelyet a szimbólumok jelölnek × {\displaystyle \ times } vagy ⋅ {\displaystyle \ cdot }, az aritmetika második alapvető működése. Szorzás is egyesíti a két szám egyetlen szám, a termék. A két eredeti számot multiplikátornak és multiplikátornak nevezik, többnyire mindkettőt egyszerűen tényezőknek nevezik.
szorzás skálázási műveletnek tekinthető., Ha a számokat úgy képzeljük el, hogy egy sorban fekszenek, az 1-nél nagyobb szám szorzása, mondjuk x, ugyanaz, mint a 0-tól egyenletesen nyújtva, oly módon, hogy az 1-es szám maga is ott legyen, ahol x volt. Hasonlóképpen, az 1-nél kisebb számmal való szorzás úgy képzelhető el, mint a 0-ra való szorítás, oly módon, hogy az 1 A multiplicandba megy.
egy másik nézet az egész számok szorzásáról (a racionálisokra kiterjeszthető, de a valós számok számára nem elérhető), ha ismételt hozzáadásnak tekintjük. Például., 3 × 4 megfelel vagy hozzá 3-szor egy 4, vagy 4-szer egy 3, amely ugyanazt az eredményt. Különböző vélemények vannak ezen paradigmák előnyösségéről a matematikai oktatásban.
a szorzás kommutatív és asszociatív; továbbá osztó jellegű az összeadás és a kivonás felett. A multiplikatív identitás 1, mivel bármely szám 1-gyel való szorzása ugyanazt a számot eredményezi. A 0 kivételével bármely szám multiplikatív inverze ennek a számnak a reciproka, mivel bármely szám reciprokának szorzata magával a számmal 1 multiplikatív identitást eredményez., A 0 az egyetlen szám, multiplikatív inverz nélkül, a szorzási eredmény pedig 0 ismét 0. Az egyik azt mondja, hogy a 0 nem szerepel a számok multiplikatív csoportjában.
az A és b szorzata a × b vagy a·b. Ha az a vagy b kifejezések nem egyszerűen számjegyekkel vannak írva, akkor azt egyszerű egymás mellé helyezés is írja: ab. A számítógépes programozási nyelvekben és szoftvercsomagokban (ahol csak a billentyűzeten található karaktereket lehet használni) gyakran csillaggal van írva: a * b.,
A számok különböző ábrázolásainál a szorzás működését megvalósító algoritmusok sokkal költségesebbek és fáradságosabbak, mint az összeadásnál. A kézi számításhoz hozzáférők vagy az egyhelyes értékek tényezőinek lebontására és ismételt összeadás alkalmazására, vagy táblázatok vagy diaszabályok alkalmazására támaszkodnak,ezáltal a szorzást összeadáshoz és fordítva. Ezek a módszerek elavultak, fokozatosan felváltják a mobil eszközöket., A számítógépek változatos, kifinomult, optimalizált algoritmusokat használnak a rendszerükben támogatott különböző számformátumok szorzásának és osztásának megvalósítására.
DivisionEdit
Division, a ÷ {\displaystyle \div } vagy / {\displaystyle/} szimbólumokkal jelölt Osztás lényegében a szorzás inverz művelete. Division megtalálja a hányadosa két szám, az osztalék osztva az osztó. A nullával osztott osztalék nem definiált., Különálló pozitív számok esetén, ha az osztalék nagyobb, mint az osztó, A hányados nagyobb, mint 1, különben kevesebb, mint 1 (hasonló szabály vonatkozik a negatív számokra). A hányados szorozva az osztó mindig hozamok az osztalék.
Division sem kommutatív, sem asszociatív. Szóval, amint azt a § Kivonás, az építési osztály a modern algebra elveti a szívességet, miszerint az inverz elem tekintetében szorzás, mint bevezetett § Szorzás., Ezért osztás a szorzás, az osztalék, a kölcsönös az osztó, mint tényező, amely egy ÷ b = a × 1/b.
Belül a természetes számok, ott is különböző, de egymáshoz kapcsolódó fogalom az úgynevezett Euklideszi osztály, amely kimenetek a két szám után “elválasztó” természetes N (számláló) a természetes D (nevező): először egy természetes Q (hányados), másodszor egy természetes R (fennmaradó) olyan, hogy N = D×Q + R, 0 ≤ R < Q