Den grunnleggende aritmetiske operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, selv om dette emnet inneholder også mer avanserte operasjoner, slik som manipulasjoner av prosenter, kvadratrøtter, exponentiation, logaritmiske funksjoner, og selv trigonometriske funksjoner, i samme retning som logaritmer (prosthaphaeresis). Aritmetiske uttrykk må vurderes i henhold til det de er beregnet sekvens av operasjoner., Det er flere metoder for å angi dette, enten—mest vanlig, sammen med infix notation—eksplisitt ved hjelp av parenteser og stole på gjeldende regler, eller ved hjelp av et prefiks eller postfix-notasjon, som er unikt fikse rekkefølge for gjennomføring av seg selv. Et sett av objekter der alle de fire aritmetiske operasjoner (med unntak av divisjon med null) kan utføres, og hvor disse fire operasjoner følge vanlige lover (inkludert distributivity), kalles et felt.,
AdditionEdit
ved å Legge finitely mange tallene kan bli sett på som gjentatte enkle tillegg; denne prosedyren er kjent som sum, et begrep som også brukes for å betegne den definisjonen for «å legge til uendelig mange tall» i en uendelig serie. Gjentatt tillegg av nummer 1 er den mest grunnleggende form for telling; resultatet av å legge 1 er vanligvis kalt etterfølger av det opprinnelige antallet.
Tillegg er kommutative og assosiativ, så den rekkefølgen finitely mange terminer er lagt til spiller ingen rolle.,
0 har den egenskapen at når det legges til hvilket som helst nummer, det gir det samme antallet, så det er identiteten element i tillegg, eller additiv identitet.
Tillegg kan også tolkes geometrisk, som i følgende eksempel.Hvis vi har to pinner av lengder 2 og 5, da, hvis pinner er justert ene etter den andre, lengden på kombinert stick blir 7, siden 2 + 5 = 7.,
SubtractionEdit
Subtraksjon, som er merket med symbolet − {\displaystyle -} , er det omvendte operasjonen tillegg. Subtraksjon finner forskjellen mellom to tall, minuend minus subtrahend: D = M − S. Ty til de tidligere etablerte tillegg til dette er å si at forskjellen er antallet som, når de legges til subtrahend, resultater i minuend: D + S = M.,
For positive argumenter M og S eier:
Hvis minuend er større enn subtrahend, forskjellen D er positiv. Hvis minuend er mindre enn subtrahend, forskjellen D er negativ.
I alle fall hvis minuend og subtrahend er like, forskjellen D = 0.
Subtraksjon er verken kommutative heller ikke assosiative., På grunn av byggingen av denne omvendte operasjonen i moderne algebra er ofte forkastet i favør av å innføre begrepet omvendt elementer (som beskrevet under § Tillegg), hvor subtraksjon er ansett som å legge additiv invers av subtrahend til minuend, det er, a − b = a + (−b)., Umiddelbar pris av forkaster den binære operasjonen av subtraksjon er innføringen av (trivielle) mono-drift levere additiv invers for et gitt antall, og å miste den umiddelbar tilgang til oppfatningen av forskjellen, som er potensielt villedende når negative argumenter er involvert.
For noen representasjon av tall, det finnes metoder for å beregne resultater, noe som er spesielt fordelaktig i å utnytte prosedyrer, eksisterende for en operasjon, med små endringer også for andre., For eksempel, digitale datamaskiner kan bruke eksisterende legge til-kretser og lagre flere kretser for å implementere en subtraksjon, ved bruk av metoden av to supplement for å representere den additive inverses, som er svært enkelt å implementere i hardware (negasjon). Trade-off er halvering av antall rekkevidde for en fast ordet lengde.
En tidligere utbredt metode for å oppnå en korrekt endre beløp, vel vitende om grunn og gitt beløp, er å telle opp-metoden, som ikke eksplisitt generere verdien av differansen., Anta at en mengde S er gitt for å betale det nødvendige beløpet Q med P større enn Q. Snarere enn eksplisitt utføre subtraksjon P − Q = C og regner ut at mengden C i endring, penger er regnet ut med utgangspunkt etterfølgeren til Q, og videreført i trinn av valuta, til S er nådd. Selv om beløpet regnes ut må være lik resultatet av subtraksjon P − Q, subtraksjon var egentlig aldri gjort, og verdien av P − Q er det ikke følger av denne metoden.,
MultiplicationEdit
Multiplikasjon, som er merket med symboler × {\displaystyle \ganger } eller ⋅ {\displaystyle \cdot } , er den andre grunnleggende bruk av aritmetikk. Multiplikasjon også kombinerer to tallene inn i et enkelt tall, produkt. De to opprinnelige tallene er kalt multiplikator og multiplicand, for det meste både er rett og slett kalles faktorer.
Multiplikasjon kan sees på som et skalering drift., Hvis tallene er forestilt som å ligge på en linje, multiplikasjon av et tall større enn 1, sier x, er den samme som strekker seg bort alt fra 0 jevnt, på en slik måte at nummer 1 i seg selv er strukket til der x var. På samme måte, ved å multiplisere et tall mindre enn 1 kan tenkes som klemmer mot 0, på en slik måte at 1 går til multiplicand.
et Annet syn på multiplikasjon av tall heltall (utvides til rationals men ikke veldig tilgjengelig for reelle tall) er med tanke på det som gjentatt addisjon. Eksempelvis., 3 × 4 svarer til enten å legge til 3 ganger 4 eller 4 ganger 3, som gir samme resultat. Det er forskjellige meninger om advantageousness av disse paradigmata i matematikk utdanning.
Multiplikasjon er kommutative og assosiativ; videre er det rettferdig fordeling over addisjon og subtraksjon. Den multiplicative identitet er 1, siden multiplisere et tall med 1, gir det samme antallet. Den multiplicative inverse for alle tall bortsett fra 0 er den gjensidige dette nummeret, fordi å multiplisere den gjensidige et antall av antallet i seg selv gir multiplicative identitet 1., 0-er det eneste nummeret uten et multiplicative invers, og resultatet av å multiplisere et tall og 0 er 0 igjen. Man sier at 0 ikke finnes i multiplicative gruppe av tall.
produktet av a og b er skrevet som et × b eller a·b. Når a eller b er et uttrykk ikke skrevet bare med tall, det er også skrevet ved enkel sidestilling: ab. I programmering språk og programvarepakker (der kan man bare bruke tegn som normalt finnes på tastaturet), det er ofte skrevet med en stjerne: a * b.,
Algoritmer for å implementere bruk av multiplikasjon for ulike representasjoner av tall som er langt mer kostbar og arbeidskrevende enn for tillegg. Disse tilgjengelig for manuell beregning enten stole på å bryte ned de faktorer til ett sted verdier, og søker gjentatt tillegg, eller på å bruke tabeller eller skyv regler, og dermed kartlegging multiplikasjon til tillegg og vice versa. Disse metodene er utdatert og er gradvis erstattet av mobile enheter., Datamaskiner som benytter ulike sofistikert og svært optimalisert algoritmer, for å gjennomføre multiplikasjon og divisjon for ulike antall formater som støttes i deres system.
DivisionEdit
Divisjon, som er merket med symboler ÷ {\displaystyle \div } eller {\displaystyle /} , er i hovedsak den omvendte operasjonen til multiplikasjon. Divisjon finner kvotienten av to tall, utbytte dividert med talet. Noe utbytte delt på null er udefinert., For å skilje positive tall, hvis utbyttet er større enn divisor, kvotienten er større enn 1, ellers er det mindre enn 1 (en tilsvarende regel gjelder for negative tall). Kvotienten multiplisert med talet alltid gir utbytte.
Divisjon er verken kommutative heller ikke assosiative. Slik som beskrevet i § Subtraksjon, bygging av delingen i moderne algebra er forkastet til fordel for å bygge den inverse elementer med hensyn til multiplikasjon, som ble introdusert i § Multiplikasjon., Derfor divisjon er multiplikasjon av utbytte med gjensidige av divisor som faktorer, som er en ÷ b = a × 1/b.
Innenfor de naturlige tallene, det er også forskjellige, men beslektede begrepet kalles Euclidean divisjon, som produserer to tall etter «dele» en naturlig N (teller) ved en naturlig D (nevneren): først en naturlig Q (kvotient), og for det andre en naturlig R (resten) slik at N = D×Q + R og 0 ≤ R < Q.