De Basis rekenkundige operaties zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, hoewel dit onderwerp ook meer geavanceerde operaties omvat, zoals manipulaties van percentages, vierkantswortels, exponentiatie, logaritmische functies en zelfs trigonometrische functies, in dezelfde geest als logaritmen (prosthaphaeresis). Rekenkundige uitdrukkingen moeten worden geëvalueerd volgens de beoogde volgorde van bewerkingen., Er zijn verschillende methoden om dit te specificeren—ofwel—het meest voorkomende, samen met infix notatie-expliciet gebruik makend van haakjes en vertrouwend op prioriteitsregels, of met behulp van een prefix of postfix notatie, die de volgorde van uitvoering op unieke wijze zelf vast te stellen. Elke verzameling van objecten waarop alle vier rekenkundige bewerkingen (behalve deling door nul) kunnen worden uitgevoerd, en waar deze vier bewerkingen de gebruikelijke wetten (inclusief verdelingskracht) naleven, wordt een veld genoemd.,
AdditionEdit
het toevoegen van eindig veel getallen kan worden gezien als herhaalde eenvoudige optelling; deze procedure staat bekend als sommatie, een term die ook wordt gebruikt om de definitie aan te duiden voor “oneindig veel getallen toevoegen” in een oneindige reeks. Herhaalde optelling van het getal 1 is de meest elementaire vorm van tellen; het resultaat van het optellen van 1 wordt meestal de opvolger van het oorspronkelijke getal genoemd.
optellen is commutatief en associatief, dus de volgorde waarin eindig veel termen worden toegevoegd doet er niet toe.,
het getal 0 heeft de eigenschap dat, wanneer het aan een willekeurig getal wordt toegevoegd, het hetzelfde getal oplevert; het is dus het identiteitselement van optelling, of de additieve identiteit.
optelling kan ook geometrisch geïnterpreteerd worden, zoals in het volgende voorbeeld.Als we twee stokken met lengtes 2 en 5 hebben, dan, als de stokken één na elkaar uitgelijnd zijn, wordt de lengte van de gecombineerde stok 7, aangezien 2 + 5 = 7.,
Aftrekken
Aftrekken, aangeduid met het symbool − {\displaystyle -} , is de inverse bewerking van optellen. Aftrekken vindt het verschil tussen twee getallen, het minuend minus het subtrahend: D = M-S. uitgaande van de eerder vastgestelde optelling, dit wil zeggen dat het verschil het getal is dat, wanneer toegevoegd aan het subtrahend, resulteert in het minuend: D + S = M.,
voor positieve argumenten geldt M en S:
als het minuend groter is dan het subtrahend, is het verschil d positief. Als het minuend kleiner is dan het subtrahend, is het verschil d negatief.
in ieder geval, als minuend en subtrahend gelijk zijn, is het verschil D = 0.
Aftrekken is noch commutatief, noch associatief., Om die reden wordt de constructie van deze inverse operatie in de moderne algebra vaak terzijde geschoven ten gunste van de invoering van het concept van inverse elementen (zoals geschetst onder § optelling), waar aftrekking wordt beschouwd als het toevoegen van de additieve inverse van het subtrahend aan het minuend, dat wil zeggen, a − b = a + (−b)., De onmiddellijke prijs van het weggooien van de binaire operatie van Aftrekken is de invoering van de (triviale) unaire operatie, het leveren van de additieve inverse voor een bepaald aantal, en het verliezen van de onmiddellijke toegang tot het begrip verschil, die mogelijk misleidend is wanneer negatieve argumenten zijn betrokken.
voor elke weergave van getallen zijn er methoden voor de berekening van resultaten, waarvan sommige bijzonder voordelig zijn voor de exploitatie van procedures, die voor één operatie bestaan, door kleine wijzigingen ook voor andere., Digitale computers kunnen bijvoorbeeld bestaande adding-Circuits hergebruiken en extra circuits opslaan voor het toepassen van een aftrekking, door gebruik te maken van de methode van twee ‘ s complement voor het weergeven van de additieve inverses, die zeer eenvoudig te implementeren is in hardware (negatie). De trade-off is het halveren van het getallenbereik voor een vaste woordlengte.
een voorheen wide spread-methode om een correct veranderingsbedrag te bereiken, rekening houdend met de verschuldigde en gegeven bedragen, is de telmethode, die niet expliciet de waarde van het verschil genereert., Stel dat een bedrag P wordt gegeven om het vereiste bedrag Q te betalen, met P Groter Dan Q. in plaats van expliciet af te trekken P-Q = C en het tellen van dat bedrag C in verandering, geld wordt geteld vanaf de opvolger van Q, en verder in de stappen van de valuta, totdat P is bereikt. Hoewel de uitgetelde hoeveelheid gelijk moet zijn aan het resultaat van de aftrekking P − Q, Is de aftrekking nooit echt gedaan en wordt de waarde van P − Q niet geleverd door deze methode.,
Vermenigvuldigingdit
vermenigvuldiging, aangeduid met de symbolen × {\displaystyle \ times } of ⋅ {\displaystyle \ cdot }, is de tweede basisbewerking van de rekenkunde. Vermenigvuldiging combineert ook twee getallen in een enkel nummer, het product. De twee oorspronkelijke getallen worden de multiplier en de multiplicand genoemd, meestal worden beide gewoon factoren genoemd.
vermenigvuldiging kan worden gezien als een schaling., Als de getallen worden voorgesteld als liggend in een lijn, is vermenigvuldiging met een getal groter dan 1, zeg x, hetzelfde als alles gelijkmatig uitrekken van 0, zodanig dat het getal 1 zelf wordt uitgerekt tot waar x was. Op dezelfde manier kan vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 1 worden voorgesteld als samendrukken naar 0, op een zodanige manier dat 1 naar de multiplicand gaat.
een andere weergave van vermenigvuldiging van gehele getallen (uitbreidbaar tot rationalen, maar niet erg toegankelijk voor reële getallen) is door het te beschouwen als herhaalde optelling. Bijvoorbeeld., 3 × 4 komt overeen met het optellen van 3 keer A 4, of 4 keer a 3, Wat hetzelfde resultaat oplevert. Er zijn verschillende meningen over de voordelen van deze paradigmata in het wiskundeonderwijs.
vermenigvuldiging is commutatief en associatief; verder is het distributief over optellen en aftrekken. De multiplicatieve identiteit is 1, omdat het vermenigvuldigen van een getal met 1 hetzelfde getal oplevert. De multiplicatieve inverse voor om het even welk getal behalve 0 is de reciproque van dit getal, omdat het vermenigvuldigen van de reciproque van om het even welk getal door het getal zelf de multiplicatieve identiteit 1 oplevert., 0 is het enige getal zonder een multiplicatieve inverse, en het resultaat van het vermenigvuldigen van een willekeurig getal en 0 is weer 0. Men zegt dat 0 niet is opgenomen in de multiplicatieve groep van de getallen.
het product van a en b wordt geschreven als a × b of a * b. Wanneer a of b uitdrukkingen zijn die niet eenvoudig met cijfers zijn geschreven, wordt het ook geschreven door eenvoudige juxtapositie: ab. In computerprogrammeertalen en softwarepakketten (waarin men alleen tekens kan gebruiken die normaal op een toetsenbord te vinden zijn) wordt het vaak geschreven met een sterretje: a * b.,
algoritmen die de werking van vermenigvuldiging voor verschillende representaties van getallen implementeren, zijn veel duurder en omslachtiger dan die voor optellen. Die toegankelijk zijn voor handmatige berekening zijn ofwel afhankelijk van het opsplitsen van de factoren naar single place waarden en het toepassen van herhaalde optelling, of op het gebruik van tabellen of dia regels, waardoor vermenigvuldiging in kaart te brengen optellen en vice versa. Deze methoden zijn verouderd en worden geleidelijk vervangen door mobiele apparaten., Computers maken gebruik van diverse geavanceerde en sterk geoptimaliseerde algoritmen, om vermenigvuldiging en deling te implementeren voor de verschillende getalformaten die in hun systeem worden ondersteund.
DivisionEdit
deling, aangeduid met de symbolen ÷ {\displaystyle \div } of / {\displaystyle/}, is in wezen de inverse bewerking van vermenigvuldiging. Verdeling vindt het quotiënt van twee getallen, het dividend gedeeld door de deler. Elk dividend gedeeld door nul is niet gedefinieerd., Voor verschillende positieve getallen is, als het dividend groter is dan de deler, het quotiënt groter dan 1, anders is het minder dan 1 (een soortgelijke regel geldt voor negatieve getallen). Het quotiënt vermenigvuldigd met de deler levert altijd het dividend op.
deling is noch commutatief, noch associatief. Dus zoals uitgelegd in § aftrekking, wordt de constructie van de deling in de moderne algebra terzijde geschoven ten gunste van de constructie van de inverse elementen met betrekking tot vermenigvuldiging, zoals geïntroduceerd in § vermenigvuldiging., Dus deling is de vermenigvuldiging van het dividend met de reciproque van de deler als factoren, dat wil zeggen, a ÷ b = a × 1/b.
binnen de natuurlijke getallen is er ook een andere, maar verwante notie genaamd Euclidische deling, die twee getallen geeft na het “delen” van een natuurlijke N (teller) door een natuurlijke D (noemer): eerst een natuurlijke Q (quotiënt), en ten tweede een natuurlijke R (rest) zodanig dat N = D×Q + R en 0 ≤ r < Q.