Boundless Algebra (Português)

What Are Cónica Sections?as secções cónicas são obtidas pela intersecção da superfície de um cone com um plano e têm certas características.,

Objetivos

Descrever as partes de uma seção cônica e como seções cônicas pode ser pensado como seções transversais de um duplo cone

Pedidas

Pontos-Chave

• Uma seção cônica (ou simplesmente cônica) é uma curva obtida como a interseção da superfície de um cone com um plano; os três tipos são parábolas, elipses e hyperbolas.
• uma secção Cónica pode ser grafada num plano de coordenadas.cada secção Cónica tem certas características, incluindo pelo menos um foco e directrix., As parábolas têm um foco e direções, enquanto as elipses e as hiperbolas têm dois de cada.uma seção cónica é o conjunto de pontos P cuja distância ao foco é um múltiplo constante da distância de P à direção da Cónica.

termos-chave

• vértice: um ponto extremo numa secção Cónica.
• assintote: uma linha reta que uma curva se aproxima arbitrariamente de perto à medida que vai para o infinito.
• locus: o conjunto de todos os pontos cujas coordenadas satisfazem uma dada equação ou condição.,
• foco: um ponto usado para construir e definir uma seção Cónica, na qual os raios refletidos da curva convergem (plural: foci).nappe: metade de um cone duplo.secção Cónica: qualquer curva formada pela intersecção de um plano com um cone de duasappes.
• directrix: uma linha usada para construir e definir uma secção Cónica; uma parábola tem uma directriz; elipses e hipérbolas têm duas (plural: directrices).,

definir secções cónicas

uma secção cónica (ou simplesmente cónica) é uma curva obtida como a intersecção da superfície de um cone com um plano. Os três tipos de seções cónicas são a hipérbole, a parábola e a elipse. O círculo é um tipo de elipse, e às vezes é considerado um quarto tipo de seção Cónica.as secções cónicas podem ser geradas pela intersecção de um plano com um cone. Um cone tem duas partes identicamente moldadas chamadas nappes. Uma nappe é o que a maioria das pessoas quer dizer com “cone”, e tem a forma de um chapéu de festa.,as secções cónicas são geradas pela intersecção de um plano com um cone. Se o plano é paralelo ao eixo da revolução (o eixo y), então a seção cónica é uma hipérbole. Se o plano é paralelo à linha geradora, a seção cónica é uma parábola. Se o plano é perpendicular ao eixo da revolução, a secção cónica é um círculo. Se o plano intersecta umaappe num ângulo para o eixo( excepto 90^{\circ}), então a secção cónica é uma elipse.,

partes comuns das secções cónicas

enquanto cada tipo de secção Cónica parece muito diferente, elas têm algumas características em comum. Por exemplo, cada tipo tem pelo menos um foco e directrix.

um foco é um ponto sobre o qual a seção cónica é construída. Em outras palavras, é um ponto sobre o qual os raios refletidos da curva convergem., Uma parábola tem um foco sobre o qual a forma é construída; uma elipse e hipérbole têm dois.

uma directriz é uma linha usada para construir e definir uma secção Cónica. A distância de uma directriz a partir de um ponto na seção Cónica tem uma relação constante com a distância desse ponto ao foco. Tal como com o foco, uma parábola tem uma directriz, enquanto elipses e hipérbolas têm duas.

estas propriedades que as secções cónicas partilham são frequentemente apresentadas como a seguinte definição, que será desenvolvida na secção seguinte., Uma seção cónica é o local de pontos P cuja distância ao foco é um múltiplo constante da distância de P para a direção da Cónica. Estas distâncias são apresentadas como linhas laranja para cada secção Cónica no diagrama seguinte.

cada tipo de secção cónica é descrito em maior detalhe abaixo.,

parábola

uma parábola é o conjunto de todos os pontos cuja distância de um ponto fixo, chamado de foco, é igual à distância de uma linha fixa, chamada directriz. O ponto a meio caminho entre o foco e a directriz é chamado o vértice da parábola.

na figura seguinte, quatro parábolas são graficadas à medida que aparecem no plano de coordenadas. Podem abrir-se, descer, para a esquerda ou para a direita.

elipses

uma elipse é o conjunto de todos os pontos para os quais a soma das distâncias de dois pontos fixos (o foci) é constante. No caso de uma elipse, existem dois focos e duas diretivas.

na figura seguinte, uma elipse típica é graficada como aparece no plano de coordenadas.

Hiperbolas

uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos em que a diferença entre as suas distâncias de dois pontos fixos (o foci) é constante. No caso de uma hipérbole, há dois focos e duas diretivas. Hyperbolas também têm duas assintotas.

um gráfico de uma hipérbole típica aparece na figura seguinte.

aplicações de secções cónicas

secções cónicas são usadas em muitos campos de estudo, particularmente para descrever formas. Por exemplo, eles são usados na astronomia para descrever as formas das órbitas dos objetos no espaço. Dois objetos maciços no espaço que interagem de acordo com a lei de Newton da gravitação universal podem mover-se em órbitas que estão na forma de seções cónicas. Eles poderiam seguir elipses, parábolas, ou hiperbolas, dependendo de suas propriedades.

excentricidade

cada secção Cónica tem uma excentricidade constante que fornece informações sobre a sua forma.,

definindo a excentricidade

a excentricidade, denotada e, é um parâmetro associado a cada secção Cónica. Pode ser pensado como uma medida de quanto a seção cônica se afasta de ser circular.,

a excentricidade de uma secção cónica é definida como sendo a distância de qualquer ponto da secção Cónica até ao seu foco, dividida pela distância perpendicular desse ponto até à directriz mais próxima. O valor de e é constante para qualquer seção Cónica. Esta propriedade pode ser usada como uma definição geral para seções cónicas., O valor de e pode ser usado para determinar o tipo de cônica de seção, bem como:

• Se e = 1, a cônica é uma parábola
• e < 1, é uma elipse
• e > 1, é uma hipérbole

A excentricidade de um círculo é igual a zero. Note que duas seções cónicas são semelhantes (de forma idêntica) se e somente se tiverem a mesma excentricidade.

lembre-se que as hiperbolas e as elipses não-circulares têm dois focos e dois directrices associados, enquanto as parábolas têm um foco e uma directriz., Na figura seguinte, cada tipo de seção cónica é graficado com foco e DiretriX. As linhas laranja indicam a distância entre o foco e os pontos na seção Cónica, bem como a distância entre os mesmos pontos e a DiretriX. Estas são as distâncias usadas para encontrar a excentricidade.

Conceituar Excentricidade

a Partir da definição de uma parábola, a distância de qualquer ponto da parábola o foco é igual a distância desse mesmo ponto para a directrix. Portanto, por definição, a excentricidade de uma parábola deve ser 1.para uma elipse, a excentricidade é inferior a 1. Isto significa que, na proporção que define a excentricidade, o numerador é menor que o denominador. Por outras palavras, a distância entre um ponto numa secção cónica e o seu foco é menor do que a distância entre esse ponto e a directriz mais próxima.,inversamente, a excentricidade de uma hipérbole é maior que 1. Isto indica que a distância entre um ponto em uma seção Cónica a DiretriX mais próxima é menor do que a distância entre esse ponto e o foco.

tipos de secções cónicas

secções cónicas são formadas pela intersecção de um plano com um cone, e as suas propriedades dependem de como esta intersecção ocorre.,

Conic sections are a particular type of shape formed by the intersection of a plane and a right circular cone. Dependendo do ângulo entre o plano e o cone, quatro formas de intersecção diferentes podem ser formadas. Cada forma também tem uma forma degenerada., Não é uma propriedade de todas as seções cônicas chamado de excentricidade, que toma a forma de um parâmetro numérico e. Os quatro cônica de seção de formas, cada um tem diferentes valores de e.

Parabola

uma parábola é formada quando o plano é paralelo à superfície do cone, resultando em uma curva em forma de U que se encontra no plano. Cada parábola tem certas características:

• Um vértice, que é o ponto em que a curva gira em torno
• Um foco, que é um ponto sobre a curva sobre a qual a curva de curvas
• Um eixo de simetria, o que é uma linha que liga o vértice e o foco que divide a parábola em duas metades iguais

Todas as parábolas possuem uma excentricidade valor de e=1., Como resultado direto de ter a mesma excentricidade, todas as parábolas são semelhantes, o que significa que qualquer parábola Pode ser transformada em qualquer outra com uma mudança de posição e escala. O caso degenerado de uma parábola é quando o plano mal toca a superfície exterior do cone, o que significa que é tangente ao cone. Isto cria uma intersecção reta a partir da diagonal do cone.

Não-degenerada parábolas podem ser representados com funções quadráticas, tais como:

f(x) = x^2

Circle

Um círculo é formado quando o plano é paralelo à base do cone., Sua interseção com o cone é, portanto, um conjunto de pontos equidistantes de um ponto comum (o eixo central do cone), que atende à definição de um círculo. Todos os círculos têm determinadas características:

• Um ponto central
• Um raio, que a distância de qualquer ponto sobre o círculo para o ponto central

Todos os círculos têm uma excentricidade e=0. Assim, como a parábola, todos os círculos são semelhantes e podem ser transformados um no outro., Em um plano de coordenadas, a forma geral da equação do círculo é

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

, onde (h,k) são as coordenadas do centro do círculo, e r é o raio.

A forma degenerada do círculo ocorre quando o plano apenas intersecta a própria ponta do cone. Esta é uma intersecção de ponto único, ou equivalentemente um círculo de raio zero.

elipse

quando o ângulo do plano em relação ao cone está entre a superfície exterior do cone e a base do cone, a intersecção resultante é uma elipse. A definição de uma elipse inclui ser paralela à base do cone também, de modo que todos os círculos são um caso especial da elipse., Elipses têm estas características:

• Um eixo principal, que é o maior largura em toda a elipse
• Um eixo secundário, que é a menor largura em toda a elipse
• Um centro, que é a intersecção de dois eixos
• Dois pontos focais para qualquer ponto sobre a elipse, a soma das distâncias para ambos os pontos focais é uma constante

Elipses podem ter um alcance de excentricidade valores: 0 \leq e < 1. Observe que o valor 0 está incluído (um círculo), mas o valor 1 não está incluído (que seria uma parábola)., Uma vez que há uma gama de valores de excentricidade, nem todas as elipses são semelhantes. A forma geral da equação de uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo x é:

\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }

A forma degenerada de uma elipse, um ponto ou círculo de raio zero, assim como para o círculo.

hipérbole

uma hipérbole é formada quando o plano é paralelo ao eixo central do cone, o que significa que ele intersecta ambas as partes do cone duplo.,nches, bem como esses recursos:

• Assíntota linhas—estes são dois linear gráficos que a curva da hipérbole abordagens, mas nunca toca
• Um centro, que é a interseção das assíntotas
• Dois pontos focais, em torno do qual cada um dos dois ramos de curvatura
• Dois vértices, um para cada filial

A equação geral de uma hipérbole com vértices em uma linha horizontal:

\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }

A excentricidade de uma hipérbole é restrito para e > 1 e não tem limite superior., Se a excentricidade for autorizada a atingir o limite de +\infty (infinito positivo), a hipérbole torna—se um dos seus casos degenerados-uma linha reta. O outro caso degenerado para uma hipérbole é tornar – se suas duas assintotas de linha reta. Isto acontece quando o plano intersecta o ápice do cone duplo.