um elemento de um líquido ou gás fluindo sofrerá forças do fluido circundante, incluindo forças de estresse viscoso que fazem com que ele se deforme gradualmente ao longo do tempo. Estas forças podem ser matematicamente aproximadas à primeira ordem por um tensor de estresse viscoso, que é geralmente denotado por τ {\displaystyle \tau } .
a deformação desse elemento fluido, em relação a algum estado anterior, pode ser aproximada à primeira ordem por um tensor de tensão que muda com o tempo., A derivada Temporal desse tensor é o tensor da taxa de tensão, que expressa como a deformação do elemento está mudando com o tempo; e também é o gradiente do campo vetorial de velocidade v {\displaystyle v} nesse ponto, muitas vezes denotado ∇ v {\displaystyle \nabla v} .,/p>
Incompressível isotrópico caseEdit
Para uma incompressível e isotrópico fluido Newtoniano, o viscoso, o estresse está relacionado com a velocidade de deformação por mais simples equação
τ = μ d u d y {\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}
onde
τ {\displaystyle \tau } é o “shear stress” (“arrastar”) no fluido, µ {\displaystyle \mu } é um escalar constante de proporcionalidade, o cisalhamento, a viscosidade do fluido d u d y {\displaystyle {\frac {du}{dy}}} é a derivada da velocidade, componente que é paralela à direção de cisalhamento, em relação ao deslocamento na direção perpendicular., esta equação pode ser escrita em termos de um sistema de coordenadas arbitrário como τ i j = µ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}
onde
x j {\displaystyle x_{j}} é o j {\displaystyle j} th espacial coordenada v i {\displaystyle v_{i}} é o fluido da velocidade na direção do eixo i {\displaystyle i} τ i j {\displaystyle \tau _{ij}} é o j {\displaystyle j} ésimo componente do stress atuando nas faces do elemento de fluido perpendicular ao eixo i {\displaystyle i} .,
one also defines a total stress tensor σ {\displaystyle \mathbf {\sigma } }, that combines the shear stress with conventional (thermodynamic) pressure p {\displaystyle p} ., O estresse de cisalhamento equação, em seguida, torna-se
σ i j = − p ∆ i j + µ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}
ou escritos em mais compacto tensor notação
σ = − p I + µ ( ∇ v + ∇ v T ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } =-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\nabla \mathbf {v} ^{T}\right)}
onde eu {\displaystyle \mathbf {I} } é o tensor identidade.,
para um fluidsEdit anisotrópico
de um modo mais geral, num fluido newtoniano não isotrópico, o coeficiente μ {\displaystyle \mu } que relaciona tensões internas de atrito com os derivados espaciais do campo da velocidade é substituído por um tensor de tensão viscosa de nove Elementos μ i j {\displaystyle \mu _{ij}.,
Há fórmula geral para a força de fricção em um líquido: O vetor diferencial da força de atrito é igual a viscosidade tensor aumento no vetor de produto diferencial da área vetor de juntar um líquido camadas e rotor de velocidade:
d F = μ i j d S × r s t u {\displaystyle {d}\mathbf {F} {=}\mu _{ij}\,\mathbf {dS} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {r} }
onde μ i j {\displaystyle \mu _{ij}} – viscosidade tensor. Os componentes diagonais do tensor de viscosidade são viscosidade molecular de um líquido, e não Componentes diagonais – viscosidade eddy turbulenta.,
de Newton lei da viscosityEdit
a equação A seguir ilustra a relação entre a taxa de cisalhamento e tensão de cisalhamento nela:
τ = μ d u d y {\displaystyle \tau =\mu {du \mais dy}} ,
em que:
- τ é o “shear stress”;
- μ é a viscosidade, e
- d u d y {\textstyle {\frac {du}{dy}}} é a taxa de cisalhamento.se a viscosidade é constante, o fluido é Newtoniano.
modelEdit da Lei do poder
a azul um fluido newtoniano comparado com o dilatante e o pseudoplástico, o ângulo depende da viscosidade.,
o modelo de lei do poder é usado para exibir o comportamento de fluidos Newtonianos e não Newtonianos e mede o estresse cisalhante como uma função da taxa de tensão.,
A relação entre a força de cisalhamento, taxa de deformação e o gradiente de velocidade para o poder da lei modelo são:
τ = − m | γ | n − 1 d v x d y {\displaystyle \tau =-m\left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}}} ,
onde
- | γ | n − 1 {\displaystyle \left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}} é o valor absoluto da velocidade de deformação para a (n-1) alimentação;
- d v x d y {\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}} é o gradiente de velocidade;
- n é o poder da lei de índice.,
If
- n < 1 then the fluid is a pseudoplastic.n = 1 Então o fluido é um fluido newtoniano.
- n> 1 Então o fluido é um dilatante.,
o Fluido modelEdit
A relação entre o estresse de cisalhamento e taxa de cisalhamento de um fluido casson modelo é definido da seguinte forma:
τ = τ 0 + S d V d y {\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \mais dy}}}
onde τ0 é o stress de rendimento e
S = μ ( 1 − H ) α {\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}}}
, onde α depende de proteína, composição e H é o valor do Hematócrito número.