What Is FEA / Finite Element Analysis?

a análise de Elementos Finitos (FEA) é a simulação de qualquer fenômeno físico dado usando a técnica numérica chamada método de Elementos Finitos (FEM). Os engenheiros usam o software FEA para reduzir o número de protótipos físicos e experimentos e otimizar componentes em sua fase de projeto para desenvolver melhores produtos, mais rápido, economizando em despesas.,

é necessário usar a matemática para compreender e quantificar exaustivamente quaisquer fenômenos físicos, tais como comportamento estrutural ou fluido, transporte térmico, propagação de ondas, o crescimento de células biológicas, etc. A maioria destes processos são descritos usando equações diferenciais parciais (PDEs). No entanto, para um computador resolver esses PDEs, técnicas numéricas foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas e uma das mais proeminentes, hoje, é a análise de Elementos Finitos.,equações diferenciais não só descrevem fenômenos naturais, mas também fenômenos físicos encontrados na mecânica de engenharia. Estas equações diferenciais parciais (PDEs) são equações complicadas que precisam ser resolvidas a fim de calcular quantidades relevantes de uma estrutura (como tensões (\(\epsilon\)), estirpes (\(\epsilon\)), etc.) a fim de estimar o comportamento estrutural sob uma determinada carga. É importante saber que a FEA apenas dá uma solução aproximada para o problema e é uma abordagem numérica para obter o resultado real dessas equações diferenciais parciais., Simplificado, FEA é um método numérico usado para a previsão de como uma parte ou conjunto se comporta sob determinadas condições. Ele é usado como base para o software de simulação moderno e ajuda os engenheiros a encontrar pontos fracos, áreas de tensão, etc. nos seus desenhos. Os resultados de uma simulação-baseada no método FEA são geralmente representados através de uma escala de cores que mostra, por exemplo, a distribuição de pressão sobre o objeto.

dependendo da perspectiva, pode-se dizer que FEA tem sua origem na obra de Euler, já no século XVI., However, the earliest mathematical papers on Finite Element Analysis can be found in the works of Schellbach and Courant .

FEA foi independentemente desenvolvido por engenheiros em diferentes indústrias para resolver problemas de mecânica estrutural relacionados com a engenharia aeroespacial e civil. The development for real-life applications started around the mid-1950s as papers by Turner, Clough , Martin & Topp , Argyris, and Babuska Aziz show., The books by Zienkiewicz and Strang & Fix also laid the foundations for future developments in FEA software.

Dividir e Conquistar

Para ser capaz de fazer simulações, uma malha, composto de milhões de pequenos elementos que juntos formam a estrutura, precisa ser criado., São feitos cálculos para cada elemento. Combinando os resultados individuais nos dá o resultado final da estrutura. As aproximações que acabamos de mencionar são geralmente polinomiais e, de fato, interpolações sobre o(s) elemento (s). Isto significa que conhecemos valores em certos pontos do elemento, mas não em todos os pontos. Estes “certos pontos” são chamados de pontos nodal e estão muitas vezes localizados no limite do elemento. A precisão com que as mudanças de variável é expressa por alguma aproximação para eg. linear, quadratic, cubic, etc., A fim de obter uma melhor compreensão das técnicas de aproximação, vamos olhar para uma barra unidimensional. Considere a verdadeira distribuição de temperatura T(x) ao longo da barra na imagem abaixo:

vamos assumir que sabemos a temperatura desta barra em 5 posições específicas (números 1-5 na ilustração)., Agora a questão é: como podemos prever a temperatura entre esses pontos? Uma aproximação linear é bastante boa, mas há melhores possibilidades de representar a distribuição da temperatura real. Se escolhermos uma aproximação quadrada, a distribuição de temperatura ao longo da barra é muito mais suave. No entanto, vemos que independentemente do grau polinomial, a distribuição sobre a haste é conhecida uma vez que conhecemos os valores nos pontos nodal. Se tivéssemos uma barra infinita, teríamos uma quantidade infinita de incógnitas (graus de liberdade (DOF))., Mas neste caso, temos um problema com um número” finito ” de incógnitas:

um sistema com um número finito de incógnitas é chamado de Sistema discreto. Um sistema com um número infinito de incógnitas é chamado de sistema contínuo.

com a finalidade de aproximações, podemos encontrar a seguinte relação para um campo de quantidade de \(u(x)\):

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

A linha ilustrado na parte superior mostra esse princípio para um problema 1D., \(u\) pode representar a temperatura ao longo do comprimento de uma haste que é aquecida de uma forma não uniforme. No nosso caso, existem quatro elementos ao longo do eixo x, onde a função define a aproximação linear da temperatura ilustrada por pontos ao longo da linha.

uma das maiores vantagens que temos ao usar a análise de elementos finitos é que podemos variar a discretização por elemento ou discretizar as funções de base correspondentes. De facto, poderíamos usar elementos menores em regiões onde são esperados altos gradientes de \(u\)., Para o propósito de modelar a inclinação da função precisamos fazer aproximações.

Equações Diferenciais Parciais

Antes de prosseguir com o próprio FEA, é importante entender os diferentes tipos de PDEs e sua adequação para FEA. Compreender isto é importante para todos, independentemente da sua motivação para usar a análise de elementos finitos. Deve-se lembrar constantemente que o software FEA é uma ferramenta e qualquer ferramenta é tão bom quanto seu usuário.,

PDE pode ser categorizado como elíptico (são bastante lisos), hiperbólico (soluções de suporte com descontinuidades), e parabólico (descrever problemas de difusão dependentes do tempo). Ao resolver estes limites de equações diferenciais e / ou as condições iniciais devem ser fornecidas. Com base no tipo de PDE, as entradas necessárias podem ser avaliadas. Exemplos de PDE em cada categoria incluem equação de Poisson (elíptica), equação de onda (hiperbólica) e Lei de Fourier (parabólica).,

Existem duas abordagens principais para a resolução de elī PDE – Análise de Diferença Finita (FDA) e Variacional (ou Energia) de Métodos. A FEA se insere na segunda categoria de métodos variacionais. Abordagens variacionais são baseadas principalmente na filosofia de minimização de energia.

PDE hiperbólica são comumente associados com saltos em soluções., A equação de onda, por exemplo, é uma PDE hiperbólica. Devido à existência de descontinuidades (ou saltos) em soluções, acreditava-se que a tecnologia original da FEA (ou método Bubnov-Galerkin) era inadequada para resolver PDE hiperbólica. no entanto, ao longo dos anos, foram desenvolvidas modificações para estender a aplicabilidade de software e Tecnologia da FEA.

é importante considerar a consequência da utilização de um quadro numérico inadequado para o tipo de PDE que é escolhido. Tal uso leva a soluções que são conhecidas como”indevidamente colocadas”., Isto pode significar que pequenas mudanças nos parâmetros do domínio levam a grandes oscilações nas soluções ou que as soluções existem apenas em uma determinada parte do domínio ou tempo. Estes não são de confiança. Soluções bem colocadas são definidas com uma única, que existe continuamente para os dados definidos. Por conseguinte, tendo em conta a fiabilidade, é extremamente importante obtê-las.

a formulação fraca e forte

os modelos matemáticos de condução de calor e elastostáticos abrangidos por esta série consistem em equações diferenciais (parciais) com condições iniciais e limites., Isto também é referido como a chamada forma forte do problema. A few examples of “strong forms” are given in the illustration below:

Second order partial differential equations demand a high degree of smoothness for the solution \(u (x)\). Isso significa que a segunda derivada do deslocamento tem que existir e tem que ser contínua! Isto também implica requisitos para parâmetros que não podem ser influenciados como a geometria (arestas vivas) e os parâmetros do material (módulo diferente em um material).,

para desenvolver a formulação de elementos finitos, as equações diferenciais parciais devem ser reformuladas em uma forma integral chamada de forma fraca. A forma fraca e a forma forte são equivalentes! Na análise do stress, a forma fraca é chamada de princípio do trabalho virtual.

$$\int^l_0\frac{dw}{dx}AE\frac{du}{dx}dx=(wA\overline{t})_{x=0} + \int^l _0wbdx ~~~ \forall w~com ~w(l)=0 \tag{3}$$

O dado equação é a chamada forma fraca (neste caso, a formulação fraca para elastostatics)., O nome indica que as soluções para a forma fraca não precisam ser tão suaves quanto as soluções da forma forte, o que implica requisitos de continuidade mais fracos.

Você tem que ter em mente que a solução que satisfaz a forma fraca é também a solução da contraparte forte da equação. Além disso, lembre-se que as soluções experimentais \(u(x)\) devem satisfazer as condições de limite de deslocamento. Esta é uma propriedade essencial das soluções de teste e é por isso que chamamos essas condições de limite condições essenciais de fronteira.estas formulações interessam-lhe?, Em caso afirmativo, leia mais no tópico do fórum sobre a equivalência entre a formulação fraca e forte de PDEs para FEA.

energia potencial mínima

a análise de Elementos Finitos também pode ser executada com o princípio da variação. No caso da elastostática unidimensional, o mínimo de energia potencial é resiliente para sistemas conservadores. A posição de equilíbrio é estável se a energia potencial do sistema \(\Pi\) for mínima. Cada perturbação infinitesimal da posição estável conduz a um estado energético desfavorável e implica uma reacção restauradora., Um exemplo fácil é uma garrafa de vidro normal que está no chão, onde tem energia potencial mínima. Se cair, não vai acontecer nada, excepto um barulho alto. Se estiver de pé no canto de uma mesa e cair no chão, é bastante provável que se quebre, uma vez que transporta mais energia para o chão. Para o princípio da variação, fazemos uso deste fato. Quanto menor for o nível de energia, menor a probabilidade de obter a solução errada., O total de energia potencial (\(\Pi\) de um sistema consiste o trabalho das forças interiores (energia de deformação)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon Um(x)} dx \tag{4}$$

e o trabalho das forças externas

$$A_a = A(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t} \tag{5}$$

A energia total é:

$$\Pi = A_i – A_a \tag{6}$$

saiba mais sobre o mínimo de energia potencial em nosso fórum relacionado com o tema.,

convergência de malha

uma das questões mais negligenciadas na Mecânica Computacional que afetam a precisão é a convergência de malha. Isto está relacionado com o quão pequenos os elementos precisam de ser para garantir que os resultados de uma análise não sejam afectados pela alteração da dimensão da malha.

A figura acima mostra a convergência de uma quantidade com um aumento nos graus de liberdade. Como descrito na figura, é importante primeiro identificar a quantidade de interesse. Pelo menos três pontos precisam ser considerados e como a densidade da malha aumenta, a quantidade de interesse começa a convergir para um determinado valor. Se dois refinamentos de malha subsequentes não alterarem substancialmente o resultado, então pode-se supor que o resultado tenha convergido.,

entrando na questão do refinamento da malha, nem sempre é necessário que a malha em todo o modelo seja refinada. O princípio de St. Venant reforça que as tensões locais em uma região não afetam as tensões em outros lugares. Assim, de um ponto de vista físico, o modelo só pode ser refinado em determinadas regiões de interesse e ainda tem uma zona de transição de malha grossa para malha fina., Existem dois tipos de refinamentos (h – E p-refinement) como mostrado na figura acima. h-refinement relaciona-se com a redução nos tamanhos dos elementos, enquanto p-refinement relaciona-se com o aumento da ordem do elemento.

aqui é importante distinguir entre Efeito geométrico e convergência de malha, especialmente quando meshing uma superfície curva usando elementos retos (ou lineares) irá exigir mais elementos (ou refinamento de malha) para capturar exatamente o limite., O refinamento da malha leva a uma redução significativa nos erros:

Refinamento como isso pode permitir um aumento da convergência das soluções, sem aumentar o tamanho de todo o problema que está sendo resolvido.como medir a convergência?,agora que a importância da convergência foi discutida, como se pode medir a convergência? O que é uma medida quantitativa para a convergência? A primeira maneira seria comparar com soluções analíticas ou resultados experimentais.

erro dos deslocamentos:

$$e_u = u-u^h \tag{7}$

Onde \(u\) é a solução analítica para o campo de deslocamento.

erro das estirpes:

$$E_\epsilon = \epsilon – \epsilon^h \tag{8}$

Onde \(\epsilon\) é a solução analítica para o campo da estirpe.,

Erro das Tensões:

$$e_\sigma = \sigma \sigma^h \tag{9}$$

onde \(\sigma\) é analítica solução para o estresse campo.

conforme mostrado nas equações acima, vários erros podem ser definidos para deslocamentos, tensões e tensões. Estes erros poderiam ser utilizados para comparação e teriam de reduzir com o refinamento da malha. Saiba mais sobre como esses erros são calculados com as respectivas normas para estas quantidades aqui.,

Software de Análise de Elementos Finitos

a análise de Elementos Finitos começou com promessa significativa na modelagem de várias aplicações mecânicas relacionadas à engenharia aeroespacial e civil. As aplicações do método do elemento finito estão apenas começando a alcançar seu potencial., Um dos mais emocionantes as perspectivas de sua aplicação, juntamente problemas como a interação fluido-estrutura; termo-mecânica, termo-químico, thermo-quimio-problemas mecânicos piezoelétrico, ferroelétrica, eletromagnetismo e outras áreas relevantes:

Static

Com a análise estática, você pode analisar linear estática e não-linear quasi-estática das estruturas. Num caso linear com uma carga estática aplicada, só é necessário um único passo para determinar a resposta estrutural. Geométrico, contato e não-linearidade material podem ser levados em conta. Um exemplo é um suporte de uma ponte.,

análise dinâmica

análise dinâmica ajuda a analisar a resposta dinâmica de uma estrutura que experimentou cargas dinâmicas ao longo de um determinado período de tempo. Para modelar os problemas estruturais de uma forma realista, Você também pode analisar os impactos de cargas, bem como deslocamentos. Um exemplo é o impacto de um crânio humano, com ou sem capacete.

Modal

Eigenfrequências e eigenmodes de uma estrutura devido à vibração podem ser simulados usando análise modal. A resposta de pico de uma estrutura ou sistema sob uma determinada carga pode ser simulada com análise harmônica., Um exemplo é o início de um motor.

Diferentes Tipos de Método de elementos Finitos

Como discutido anteriormente na seção sobre Edps, tradicional FEM tecnologia tem demonstrado deficiências na modelagem de problemas relacionados à mecânica dos fluidos, propagação de ondas, etc. Várias melhorias foram feitas ao longo das últimas duas décadas para melhorar o processo de solução e estender a aplicabilidade da análise de elementos finitos a um amplo gênero de problemas., Alguns dos mais importantes ainda em uso incluem:

Extended Finite Element Method (XFEM)

o método Bubnov-Galerkin requer continuidade dos deslocamentos através dos elementos. Problemas como contato, fratura e danos, no entanto, envolvem descontinuidades e saltos que não podem ser diretamente manuseados por métodos de Elementos Finitos. Para superar esta lacuna, XFEM nasceu na década de 1990. XFEM trabalha através da expansão das funções de forma com funções de passo pesado., Graus extras de liberdade são atribuídos aos nós em torno do ponto de descontinuidade para que os saltos possam ser considerados.

Generalized Finite Element Method (GFEM)

GFEM was introduced around the same time as XFEM in the ’90s. It Combins the features of traditional FEM software and meshless methods. As funções de forma são definidas principalmente nas coordenadas globais e multiplicadas pela partição da unidade para criar funções de forma elementar locais. Uma das vantagens do GFEM é a prevenção da re-mistura em torno das singularidades.,

método misto de Elementos Finitos

em vários problemas, como contato ou incompressibilidade, restrições são impostas usando multiplicadores de Lagrange. Estes graus adicionais de liberdade decorrentes de multiplicadores de Lagrange são resolvidos de forma independente. As equações são resolvidas como um sistema acoplado.

HP-método do elemento finito

hp-FEM é uma combinação de uso de refinamento de malha automática (H-refinamento) e aumento na ordem de polinômio (p-refinamento). Isto não é o mesmo que fazer h – E p – refinamentos separadamente., Quando o refinamento automático de hp é usado, e um elemento é dividido em elementos menores (h-refinement), cada elemento pode ter diferentes ordens polinomiais também.

método descontínuo de Elementos Finitos de Galerkin (DG-FEM)

DG-FEM tem mostrado uma promessa significativa para usar a ideia de elementos finitos para resolver equações hiperbólicas onde métodos tradicionais de Elementos Finitos têm sido fracos. Além disso, ele também mostrou promessa em flexão e problemas incompressíveis que são comumente observados na maioria dos processos materiais., Aqui restrições adicionais são adicionados à forma fraca que incluem um parâmetro de penalidade (para evitar a interpenetração) e termos para outro equilíbrio de tensões entre os elementos.

Análise de Elementos Finitos & SimScale

a componente de software da FEA da SimScale permite-lhe testar e prever o comportamento das estruturas e, portanto, resolver problemas complexos de engenharia estrutural sujeitos a condições de carga estáticas e dinâmicas., A plataforma de simulação FEA usa métodos numéricos escaláveis que podem calcular expressões matemáticas que de outra forma seriam muito desafiadoras devido a cargas complexas, geometrias ou propriedades materiais.

ast updated: January 20, 2021