de grundläggande aritmetiska operationerna är addition, subtraktion, multiplikation och division, även om detta ämne också innehåller mer avancerade operationer, såsom manipuleringar av procentsatser, kvadratiska rötter, exponentiering, logaritmiska funktioner och till och med trigonometriska funktioner, i samma ven som logaritmer (prosthaphaeresis). Aritmetiska uttryck måste utvärderas enligt den avsedda sekvensen av operationer., Det finns flera metoder för att ange detta, antingen—vanligast, tillsammans med infix notation-explicit använda parenteser och förlita sig på prejudikat regler, eller med hjälp av ett prefix eller postfix notation, som unikt fixa körningsordningen av sig själva. Varje uppsättning objekt på vilka alla fyra aritmetiska operationer (utom uppdelning med noll) kan utföras, och där dessa fyra operationer följer de vanliga lagarna (inklusive distributivitet) kallas ett fält.,
AdditionEdit
lägga till ändligt många nummer kan ses som upprepade enkla tillägg; detta förfarande kallas summering, en term som också används för att beteckna definitionen för ”lägga oändligt många nummer” i en oändlig serie. Upprepad tillsats av nummer 1 är den mest grundläggande formen av räkning; resultatet av att lägga till 1 kallas vanligtvis efterföljaren till det ursprungliga numret.
tillägget är kommutativt och associativt, så den ordning i vilken ändligt många termer läggs till spelar ingen roll.,
numret 0 har egenskapen att det, när det läggs till ett nummer, ger samma nummer; så det är identitetselementet för tillägg eller tillsatsidentiteten.
tillägg kan också tolkas geometriskt, som i följande exempel.Om vi har två pinnar med längder 2 och 5, då, om pinnarna är inriktade efter varandra, blir längden på den kombinerade pinnen 7, eftersom 2 + 5 = 7.,
Subtraktionedit
subtraktion, betecknad med symbolen − {\displaystyle -} , är den inversa åtgärden att addition. Subtraktion finner skillnaden mellan två tal, minuend minus subtrahend: D = M-S. tillgripa det tidigare etablerade tillägget, det vill säga att skillnaden är det nummer som, när det läggs till subtrahenden, resulterar i minuend: D + S = M.,
för positiva argument m och S har:
om minuend är större än subtrahenden är skillnaden d positiv. Om minuend är mindre än subtrahenden är skillnaden d negativ.
I alla fall om minuend och subtrahend är lika, skillnaden D = 0.
subtraktion är varken kommutativ eller associativ., Av den anledningen är byggandet av denna inversa operation i modern algebra ofta kasseras till förmån för att införa begreppet inverselement (som skisseras enligt § Addition), där subtraktion anses lägga till tillsatsen inversen av subtrahend till minuend, det vill säga a-B = A +(−b)., Det omedelbara priset för kassering av binär drift av subtraktion är införandet av (trivial) unary operation, levererar tillsatsen invers för ett visst nummer och förlorar omedelbar tillgång till begreppet skillnad, vilket är potentiellt vilseledande när negativa argument är inblandade.
för varje representation av siffror finns metoder för beräkning av resultat, av vilka några är särskilt fördelaktiga vid utnyttjande av förfaranden, som existerar för en operation, genom små förändringar även för andra., Till exempel kan digitala datorer återanvända befintliga additionskretsar och spara ytterligare kretsar för att genomföra en subtraktion, genom att använda metoden för tvås komplement för att representera additiv inverser, vilket är extremt lätt att implementera i hårdvara (negation). Avvägningen är halvering av nummerintervallet för en fast ordlängd.
en tidigare bred spridningsmetod för att uppnå ett korrekt ändringsbelopp, som känner till förfallna och givna belopp, är räkningsmetoden, som inte uttryckligen genererar värdet av skillnaden., Antag att ett belopp P ges för att betala det önskade beloppet Q, med P större än Q. I stället för att uttryckligen utföra subtraktionen P-Q = C och räkna ut det beloppet C i förändring, räknas pengar ut från och med efterföljaren till Q och fortsätter i valutans steg tills P nås. Även om det belopp som räknas ut måste motsvara resultatet av subtraktionen P-Q, var subtraktionen aldrig riktigt gjort och värdet av P − Q levereras inte med denna metod.,
Multiplikationedit
multiplikation, betecknad med symbolerna × {\displaystyle \times } eller {\displaystyle \cdot } , är den andra grundläggande driften av aritmetik. Multiplikation kombinerar också två tal i ett enda nummer, produkten. De två ursprungliga siffrorna kallas multiplikatorn och multiplikatorenoch mestadels båda kallas helt enkelt faktorer.
multiplikation kan ses som en skalningsoperation., Om siffrorna föreställs som liggande i en linje, multiplikation med ett tal större än 1, Säg x, är detsamma som att sträcka allt bort från 0 jämnt, på ett sådant sätt att numret 1 själv sträcker sig till var x var. På samma sätt kan multipliceras med ett tal mindre än 1 föreställas som att klämma mot 0, på ett sådant sätt att 1 går till multiplikand.
en annan syn på multiplikation av heltal (utdragbar till rationals men inte mycket tillgänglig för reella tal) är genom att betrakta det som upprepade tillägg. Exempelvis., 3 × 4 motsvarar antingen lägga 3 gånger en 4, eller 4 gånger en 3, vilket ger samma resultat. Det finns olika åsikter om fördelarna med dessa paradigmata i matematisk utbildning.
multiplikation är kommutativ och associativ; vidare är det distributiv över addition och subtraktion. Den multiplikativa identiteten är 1, eftersom multiplicera ett tal med 1 ger samma nummer. Den multiplikativa inversen för valfritt tal utom 0 är det ömsesidiga av detta nummer, eftersom multiplicering av det ömsesidiga av vilket tal som helst med själva numret ger den multiplikativa identiteten 1., 0 är det enda numret utan en multiplikativ invers, och resultatet av att multiplicera något tal och 0 är igen 0. Man säger att 0 inte finns i den multiplikativa gruppen av siffrorna.
produkten av A och b är skriven som A × B eller A·b. När A eller b är uttryck som inte skrivs helt enkelt med siffror, skrivs det också med enkel juxtaposition: AB. I datorprogrammeringsspråk och programpaket (där man bara kan använda tecken som normalt finns på ett tangentbord) skrivs det ofta med en asterisk: a * b.,
algoritmer som implementerar multiplikationsfunktionen för olika representationer av siffror är mycket dyrare och mödosamma än de för tillägg. De som är tillgängliga för manuell beräkning förlitar sig antingen på att bryta ner faktorerna till enskilda platsvärden och tillämpa upprepade tillägg, eller på att använda tabeller eller glidregler, och därigenom kartlägga multiplikation till Tillägg och vice versa. Dessa metoder är föråldrade och ersätts gradvis av mobila enheter., Datorer använder olika sofistikerade och mycket optimerade algoritmer, för att genomföra multiplikation och division för de olika talformat som stöds i deras system.
DivisionEdit
Division, betecknad med symbolerna {\displaystyle \div } eller / {\displaystyle/}, är i huvudsak den inversa operationen för multiplikation. Divisionen finner kvoten av två nummer, utdelningen dividerad med divisorn. Eventuell utdelning dividerad med noll är odefinierad., För tydliga positiva tal, om utdelningen är större än divisorn, är kvoten större än 1, annars är den mindre än 1 (en liknande regel gäller för negativa tal). Kvoten multiplicerad med divisorn ger alltid utdelningen.
Division är varken kommutativ eller associativ. Så som förklaras i § subtraktion, är byggandet av uppdelningen i modern algebra kasseras till förmån för att konstruera de inversa elementen med avseende på multiplikation, som infördes i § multiplikation., Därför är divisionen multiplikationen av utdelningen med divisorns ömsesidiga som faktorer, det vill säga en b = a × 1/b.
inom de naturliga numren finns det också ett annat men relaterat begrepp som kallas Euclidean division, som matar ut två nummer efter ”dividera” en naturlig N (täljare) med en naturlig d (nämnare): först en naturlig Q (kvot) och andra en naturlig R (återstoden) så att N = D×Q + R och 0 ≤ r < Q.