De grundlæggende aritmetiske operationer er addition, subtraktion, multiplikation og division, selv om dette emne indeholder også mere avancerede funktioner, såsom manipulation af procenter, kvadratrødder, eksponentiering, logaritmiske funktioner, og selv trigonometriske funktioner, på samme måde som logaritmer (prosthaphaeresis). Aritmetiske udtryk skal evalueres i henhold til den påtænkte sekvens af operationer., Der er flere metoder til at specificere dette, enten-mest almindelige, sammen med infi.notation—eksplicit ved hjælp af parenteser og stole på forrang regler, eller ved hjælp af et præfiks eller postfi. notation, som entydigt fastsætte rækkefølgen af udførelsen af sig selv. Ethvert sæt objekter, hvorpå alle fire aritmetiske operationer (undtagen division med nul) kan udføres, og hvor disse fire operationer overholder de sædvanlige love (herunder distribution), kaldes et felt.,
AdditionEdit
Tilføjelse finitely mange numre kan ses som gentagne simpel addition; denne fremgangsmåde er kendt som summation, et begreb, der også bruges til at betegne den definition for “tilføjelse af uendeligt mange tal” i en uendelig række. Gentagen tilføjelse af tallet 1 er den mest grundlæggende form for tælling; resultatet af at tilføje 1 kaldes normalt efterfølgeren til det oprindelige nummer.
tilføjelse er kommutativ og associativ, så rækkefølgen, hvor finitely mange udtryk tilføjes, betyder ikke noget.,
tallet 0 har den egenskab, at når det tilføjes til et hvilket som helst nummer, giver det det samme nummer; så det er identitetselementet i tilføjelsen eller additividentiteten.
tilføjelse kan også fortolkes geometrisk, som i det følgende eksempel.Hvis vi har to pinde med længder 2 og 5, så hvis pindene er justeret efter hinanden, bliver længden af den kombinerede pind 7, da 2 + 5 = 7.,
Subtraktionrediger
subtraktion, betegnet med symbolet − {\displaystyle -} , er den inverse operation Til tilføjelse. Subtraktion finder forskellen mellem to tal, minuenden minus subtrahenden: D = M-S. Når man tager til den tidligere etablerede tilføjelse, betyder det, at forskellen er det tal, der, når det tilføjes til subtrahenden, resulterer i minuenden: D + S = M.,
for positive argumenter m og S holder:
Hvis minuenden er større end subtrahenden, er forskellen D positiv. Hvis minuenden er mindre end subtrahend, er forskellen D negativ.
under alle omstændigheder, hvis minuend og subtrahend er ens, forskellen D = 0.
subtraktion er hverken kommutativ eller associativ., Af den grund kasseres konstruktionen af denne inverse operation i moderne algebra ofte til fordel for at introducere begrebet inverse elementer (som skitseret under Addition tilføjelse), hvor subtraktion betragtes som at tilføje additivet inverse af subtrahend til minuenden, det vil sige a − B = A + (−B)., Den umiddelbare pris for at skille den binære operation af subtraktion er indførelsen af den (trivielle) monadiske drift, levere den additive inverse til en given række, og at miste den umiddelbare adgang til begrebet forskel, der er potentielt vildledende, når negative argumenter er involveret.
for enhver repræsentation af tal er der metoder til beregning af resultater, hvoraf nogle er særligt fordelagtige ved udnyttelse af procedurer, der findes for en operation, ved små ændringer også for andre., For eksempel, digitale computere, der kan genbruge eksisterende tilføje-kredsløb, og spar yderligere kredsløb for gennemførelse af en subtraktion, ved at anvende den metode to er et supplement til, der repræsenterer den additive inverse, som er ekstremt nemt at implementere i hardware (negation). Afvejningen er halveringen af talintervallet for en fast ordlængde.
en tidligere udbredt metode til at opnå et korrekt ændringsbeløb ved at kende de skyldige og givne beløb er tællemetoden, som ikke eksplicit genererer værdien af forskellen., Antag, at et beløb P er givet for at betale det krævede beløb Q, med P større end Q. I stedet for eksplicit at udføre subtraktionen P − = = C og tælle det beløb C i forandring, tælles penge ud fra efterfølgeren til Q og fortsætter i trinnene i valutaen, indtil P er nået. Selv om det beløb tælles ud skal svare til resultatet af subtraktion P−,, subtraktion blev aldrig rigtig gjort, og værdien af P−. er ikke leveret af denne metode.,
Multiplikationrediger
multiplikation, betegnet med symbolerne {{\displaystyle \gange } eller {{\displaystyle \cdot } , er den anden grundlæggende drift af aritmetik. Multiplikation kombinerer også to tal i et enkelt tal, produktet. De to originale tal kaldes multiplikatoren og multiplikatoren, for det meste kaldes begge blot faktorer.multiplikation kan ses som en skaleringsoperation., Hvis tallene forestilles som liggende i en linje, er multiplikation med et tal større end 1, siger x, det samme som at strække alt væk fra 0 ensartet på en sådan måde, at tallet 1 selv strækkes til hvor.var. Tilsvarende kan multiplikation med et tal mindre end 1 forestilles som at klemme mod 0 på en sådan måde, at 1 går til multiplikanden.
et andet syn på multiplikation af heltal (udvides til rationals men ikke meget tilgængelige for reelle tal) er ved at betragte det som gentagen tilføjelse. Eksempel., 3 4 4 svarer til enten at tilføje 3 gange a 4 eller 4 gange a 3, hvilket giver det samme resultat. Der er forskellige meninger om fordelene ved disse paradigmata i matematikundervisning.
multiplikation er kommutativ og associativ; Endvidere er det fordelagtigt over addition og subtraktion. Den multiplikative identitet er 1, Da multiplicering af et hvilket som helst tal med 1 giver det samme antal. Det multiplikative inverse for ethvert tal undtagen 0 er det gensidige af dette tal, fordi multiplicering af det gensidige af et hvilket som helst tal med selve nummeret giver den multiplikative identitet 1., 0 er det eneste tal uden en multiplikativ invers, og resultatet af at multiplicere et hvilket som helst tal og 0 er igen 0. Man siger, at 0 ikke er indeholdt i den multiplikative gruppe af tallene.
produktet af A og b er skrevet som A and B eller a·b. Når a eller b er udtryk, der ikke er skrevet blot med cifre, skrives det også ved simpel sammenstilling: ab. I programmeringssprog og programpakker (hvor man kun kan bruge tegn, der normalt findes på et tastatur), og det er ofte skrevet med en stjerne: a * b.,
algoritmer, der implementerer driften af multiplikation for forskellige repræsentationer af tal, er langt dyrere og besværlige end dem, der skal tilføjes. De, der er tilgængelige til manuel beregning, er enten afhængige af at nedbryde faktorerne til enkeltpladsværdier og anvende gentagen tilføjelse eller på at anvende tabeller eller diasregler og derved kortlægge multiplikation til tilføjelse og vice versa. Disse metoder er forældede og erstattes gradvist af mobile enheder., Computere bruger forskellige sofistikerede og stærkt optimerede algoritmer til at implementere multiplikation og division for de forskellige talformater, der understøttes i deres system.
DivisionEdit
Division, angivet ved symboler ÷ {\displaystyle \div } eller {\displaystyle /} , er stort set den inverse operation til multiplikation. Division finder kvotienten af to tal, udbyttet divideret med divisoren. Ethvert udbytte divideret med nul er udefineret., For forskellige positive tal, hvis udbyttet er større end divisoren, er kvotienten større end 1, ellers er den mindre end 1 (en lignende regel gælder for negative tal). Kvotienten multipliceret med divisoren giver altid udbyttet.
Division er hverken kommutativ eller associativ. Så som forklaret i subt subtraktion kasseres opførelsen af divisionen i moderne algebra til fordel for at konstruere de omvendte elementer med hensyn til multiplikation, som introduceret i Multiplication multiplikation., Derfor division er multiplikation af udbytte med den reciprokke af den divisor som faktorer, der er, a ÷ b = a × 1/b.
Inden for de naturlige tal, der er også forskellige, men relaterede begreb kaldes Euklidisk division, hvilke udgange, to tal efter “dividere” en naturlig N (tæller), som en naturlig D (nævner): for det første en naturlig Q (kvotienten), og for det andet en naturlige R (resten), at N = D×Q + R og 0 ≤ R < Q.