As operações aritméticas básicas são a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão, apesar de este assunto também inclui operações mais avançadas, como manipulações de percentagem, raiz quadrada, potência, logarítmica, funções, e até mesmo funções trigonométricas, na mesma veia como logaritmos (prosthaphaeresis). As expressões aritméticas devem ser avaliadas de acordo com a sequência de operações prevista., Existem vários métodos para especificar isso, ou—mais comum, junto com a notação infix—explicitamente usando parênteses e dependendo de regras de precedência, ou usando um prefixo ou notação postfix, que fixam a ordem de execução por si mesmos. Qualquer conjunto de objetos sobre os quais todas as quatro operações aritméticas (exceto divisão por zero) podem ser realizadas, e onde essas quatro operações obedecem às leis usuais (incluindo a distribuição), é chamado de campo.,
AdditionEdit
adicionando finitamente muitos números pode ser visto como adição simples repetida; este procedimento é conhecido como soma, um termo também usado para denotar a definição de “adição de números infinitos” em uma série infinita. A adição repetida do número 1 é a forma mais básica de contagem; o resultado da adição de 1 é geralmente chamado de sucessor do número original.
adição é comutativa e associativa, de modo que a ordem em que finitamente muitos termos são adicionados não importa.,
O número 0 tem a propriedade que, quando adicionado a qualquer número, produz esse mesmo número; assim, é o elemento de identidade da adição, ou a identidade do aditivo.
A adição também pode ser interpretada geometricamente, como no exemplo seguinte.Se tivermos duas varas de comprimento 2 e 5, então, se as varas estiverem alinhadas uma após a outra, o comprimento da varinha combinada torna-se 7, uma vez que 2 + 5 = 7.,
SubtractionEdit
subtracção, denotado pelo símbolo − {\displaystyle -} , é a operação inversa para adição. Subtração encontrar a diferença entre dois números, o minuend menos o subtrahend: D = M − S. Recorrer à estabelecida anteriormente, este é para dizer que a diferença é o número que, quando adicionado ao subtrahend, resulta na minuend: D + S = M.,
para argumentos positivos m E S vale:
Se o minuend for maior do que o subtrahend, a diferença D é positiva. Se o minuend for menor que o subtralhend, a diferença D é negativa. em qualquer caso, se minuend e subtrahend forem iguais, a diferença D = 0.
subtracção não é nem comutativa nem associativa., Por essa razão, a construção desta operação inversa na álgebra moderna é muitas vezes descartada em favor da introdução do conceito de elementos inversos (como esboçado sob a adição de§), onde a subtração é considerada como adicionando o inverso aditivo da sub − cadeia à minuenda, ou seja, a−b = A + (- b)., O preço imediato de descartar a operação binária de subtração é a introdução da operação unária (trivial), entregando o inverso aditivo para qualquer número dado, e perdendo o acesso imediato à noção de diferença, que é potencialmente enganador quando argumentos negativos estão envolvidos.para qualquer representação numérica, existem métodos de cálculo dos resultados, alguns dos quais são particularmente vantajosos na exploração de procedimentos, existentes para uma operação, por pequenas alterações também para outras., Por exemplo, os computadores digitais podem reutilizar os circuitos de adição existentes e salvar circuitos adicionais para implementar uma subtração, empregando o método do complemento de dois para representar os inversos aditivos, que é extremamente fácil de implementar em hardware (negação). O trade-off é a redução para metade do intervalo de números para um comprimento de palavra fixo.
um método de spread anteriormente amplo para alcançar uma quantia de mudança correta, conhecendo as quantias devidas e dadas, é o método de contagem, que não gera explicitamente o valor da diferença., Suponha que um valor de P é dado a fim de pagar o montante exigido, Q, com P maior do que P., ao Invés de incluir explicitamente realizar a subtração P − Q = C e contando que a quantidade de C na mudança, o dinheiro é contado para fora, começando com o sucessor de Q, e continuando os passos da moeda, até que P é atingido. Embora a quantia contada deva igualar o resultado da subtração P-Q, A subtração nunca foi realmente feita e o valor de P − Q não é fornecido por este método.,
MultiplicationEdit
multiplicação, denotado pelos símbolos × {\displaystyle \times } ou ⋅ {\displaystyle \cdot } , é a segunda operação básica da aritmética. A multiplicação também combina dois números em um único número, o produto. Os dois números originais são chamados de multiplicador e multiplicand, principalmente ambos são simplesmente chamados de fatores.
multiplicação pode ser vista como uma operação de escala., Se os números são imaginados como estando em uma linha, a multiplicação por um número maior que 1, digamos x, é a mesma que esticar tudo longe de 0 uniformemente, de tal forma que o número 1 em si é esticado para onde x estava. Da mesma forma, multiplicar por um número inferior a 1 pode ser imaginado como apertar para 0, de tal forma que 1 vai para o multiplicand.
outra visão sobre a multiplicação de números inteiros (extensível a racionais, mas não muito acessível para números reais) é considerando-a como adição repetida. Por exemplo., 3 × 4 corresponde a adicionar 3 vezes a 4, ou 4 vezes a 3, dando o mesmo resultado. Há opiniões diferentes sobre a vantagem destes paradigmas na educação matemática.
multiplicação é comutativa e associativa; além disso, é distributiva sobre adição e subtração. A identidade multiplicativa é 1, uma vez que a multiplicação de qualquer número por 1 produz esse mesmo número. O inverso multiplicativo para qualquer número exceto 0 é o recíproco deste número, porque multiplicando o recíproco de qualquer número pelo próprio número produz a identidade multiplicativa 1., 0 é o único número sem um inverso multiplicativo, e o resultado da multiplicação de qualquer número e 0 é novamente 0. Diz-se que 0 não está contido no grupo multiplicativo dos números.
O produto de A E b é escrito como a × b ou a * B. Quando a ou b são expressões não escritas simplesmente com dígitos, também é escrito por justaposição simples: ab. Em linguagens de programação de computadores e pacotes de software (em que só se pode usar caracteres normalmente encontrados em um teclado), é muitas vezes escrito com um asterisco: a * b.,
algoritmos implementando a operação de multiplicação para várias representações de números são muito mais caros e trabalhosos do que aqueles para adição. Aqueles acessíveis para o cálculo manual ou dependem da desagregação dos fatores para valores de lugar único e da aplicação de adição repetida, ou na utilização de tabelas ou regras de slide, mapeando assim a multiplicação para adição e vice-versa. Estes métodos estão desactualizados e são gradualmente substituídos por dispositivos móveis., Os computadores utilizam diversos algoritmos sofisticados e altamente otimizados, para implementar multiplicação e divisão para os vários formatos de números suportados em seu sistema.
DivisionEdit
Division, denotado pelos símbolos ÷ {\displaystyle \div } ou / {\displaystyle /} , é essencialmente a operação inversa à multiplicação. A divisão encontra o quociente de dois números, o dividendo dividido pelo divisor. Qualquer dividendo dividido por zero é indefinido., Para números positivos distintos, se o dividendo é maior que o divisor, o quociente é maior que 1, caso contrário é menor que 1 (uma regra similar se aplica para números negativos). O quociente multiplicado pelo divisor gera sempre o dividendo.
A divisão não é nem comutativa nem associativa. Assim, como explicado em § subtração, a construção da divisão na álgebra moderna é descartada em favor da construção dos elementos inversos em relação à multiplicação, como introduzido em § multiplicação., Daí a divisão é a multiplicação dos dividendos com o inverso do divisor como fatores, isto é, a ÷ b = a × 1/b.
Dentro dos números naturais, há também diferentes, mas relacionadas noção de chamada divisão Euclidiana, que gera dois números depois de “dividir” um natural N (numerador) pelo natural D (denominador): primeiro um natural Q (quociente) e o segundo, um natural R (resto) tais que N = P×Q + R e 0 ≤ R < Q.